16^n et 81^n laissent un reste de 1 lorsqu'ils sont divisés par 5. Donc, 2 * 16^n et 3 *81^n laissent un reste de 2 et 3 respectivement lorsqu'ils sont divisés par 5.
Donc, 2^{4n+1} + 3^{4n+1} laisse un reste de 2 + 3 = 5 lorsqu'elle est divisée par 5, donc elle est divisible par 5.
congruence :
Pour tout entier naturel n, on a :
2^{4n+1} congru à 2 mod 5
3^{4n+1} congru à 3 mod 5
Donc, 2^{4n+1} + 3^{4n+1} congru à 2 + 3 = 0 mod 5
Cela signifie que (2^{4n+1} + 3^{4n+1}) est divisible par 5.
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Réponse:
division euclidienne
congruence
Explications étape par étape:
On sait que pour tout entier naturel n, on a :
2^{4n+1} = 2 *(2^4)^n = 2 *16^n
3^{4n+1} = 3 * (3^4)^n = 3 *81^n
16^n et 81^n laissent un reste de 1 lorsqu'ils sont divisés par 5. Donc, 2 * 16^n et 3 *81^n laissent un reste de 2 et 3 respectivement lorsqu'ils sont divisés par 5.
Donc, 2^{4n+1} + 3^{4n+1} laisse un reste de 2 + 3 = 5 lorsqu'elle est divisée par 5, donc elle est divisible par 5.
congruence :
Pour tout entier naturel n, on a :
2^{4n+1} congru à 2 mod 5
3^{4n+1} congru à 3 mod 5
Donc, 2^{4n+1} + 3^{4n+1} congru à 2 + 3 = 0 mod 5
Cela signifie que (2^{4n+1} + 3^{4n+1}) est divisible par 5.
Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape :
[tex]si\ n=0\ alors\\2^1+3^1=5\ est\ divisible\ par\ 5.\\\\si\ n\neq 0:\\2^{4n+1}+3^{4n+1}=2*{2^4}^n+3*{3^4}^n=2*16^n+3*81^n\\\\2*16^n+3*81^n\equiv\ 2*1^n+3*1^n\equiv 5\equiv 0 [5]\\\\2^{4n+1}+3^{4n+1}\ est\ donc\ divisible\ par\ 5\\\\[/tex]