Une balle est lâchée à 5 mètres au-dessus du sol. A chaque fois qu’elle touche le sol, elle rebondit en perdant 5% de sa hauteur. Au bout de combien de rebond la balle aura-t-elle parcouru au total plus de 50 mètres ? 100 mètres ?
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Réponse :
Explications étape par étape :
On peut modéliser la hauteur de la balle par une suite géométrique de premier terme u_0=5 et de raison q=0,95 (elle perd 5% de sa hauteur à chaque rebond)
[tex]v_n=v_0*0.95^n\\v_n=5*0.95^n[/tex]
n représentant le nombre de rebond.
La distance parcourue par la balle au rebond n appelée S_n
est la somme des n + 1 premiers termes de cette suite géométriques selon l'expression :
[tex]S_n=v_0+v_1+...+v_n\\S_n=v_0*\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \\S_n=5*\frac{1-0.95^{n+1}}{1-0.95} =5*\frac{1-0.95^{n+1}}{0.05}=100(1-0.95^{n+1})[/tex]
La balle aura parcouru 50 mètres
[tex]100(1-0.95^{n+1})=50\\1-0.95^{n+1}=\frac{50}{100} =0.5\\-0.95^{n+1}=0.5-1\\-0.95^{n+1}=-0.5\\0.95^{n+1}=0.5\\ln(0.95^{n+1})=ln(0.5)\\(n+1)ln(0.95)=ln(0.5)\\n+1=\frac{ln(0.5)}{ln(0.95)} \\n+1=13,51\\n=12,51\\[/tex]
n est un entier naturel donc la balle aura parcouru 50 mètres au 13 ème rebond.
La balle aura parcouru 100 mètres :
[tex]100(1-0.95^{n+1})=100\\(1-0.95^{n+1})=\frac{100}{100} =1\\-0.95^{n+1}=1-1=0\\0.95^{n+1}=0[/tex]
Cette équation n'admet pas de solution, la balle n'atteint jamais la distance de 100 mètres
La limite quand n tend vers +∞ de S est égale à 100 mais cela signifie que la distance parcourue se rapproche de 100 sans jamais l'atteindre
En simulant cette situation sur une calculatrice, au 200 ème rebond, la distance sera de 99,996 m