• A diferença entre o cubo e o quadrado desse número: x³ – x²;
• O triplo do quadrado desse número: 3x²;
• Soma do triplo do quadrado desse número com 25: 3x² + 25.
Então, de acordo com as informações do texto da questão, podemos montar a seguinte equação:
x³ – x² = 3x² + 25
x³ – x² – 3x² – 25 = 0
x³ – 4x² – 25 = 0
x³ – 4x² – 5² = 0
Aqui chegamos a uma equação de grau 3. Mas nesse caso específico, podemos fazer uma manipulação adequada no fator do 2º grau, de modo que a expressão é facilmente fatorada. Observe:
Reescreva convenientemente o termo – 4x² como – 5x² + x²:
x³ – 5x² + x² – 5² = 0
Coloque x² em evidência nos dois primeiros termos:
x² · (x – 5) + x² – 5² = 0
Os dois últimos termos formam uma diferença entre quadrados. Fatore-os usando produtos notáveis:
• a² – b² = (a + b) · (a – b)
e a equação fica
x² · (x – 5) + (x + 5) · (x – 5) = 0
Agora ponha o fator comum (x – 5) em evidência:
(x – 5) · (x² + x + 5) = 0 <———— equação-produto.
O produto é zero somente se algum dos fatores é zero. Logo, devemos ter
x – 5 = 0 ou x² + x + 5 = 0
x = 5 ou x² + x + 5 = 0 (i)
—————
Verificando as soluções para a equação quadrática:
x² + x + 5 = 0 ———> coeficientes: a = 1; b = 1; c = 5.
Δ = b² – 4ac
Δ = 1² – 4 · 1 · 5
Δ = 1 – 20
Δ = – 19 < 0
Como o discriminante Δ é negativo, então a equação quadrática não possui raízes reais.
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Chamemos o tal número real desconhecido por x.
• O cubo desse número: x³;
• O quadrado desse número: x²;
• A diferença entre o cubo e o quadrado desse número: x³ – x²;
• O triplo do quadrado desse número: 3x²;
• Soma do triplo do quadrado desse número com 25: 3x² + 25.
Então, de acordo com as informações do texto da questão, podemos montar a seguinte equação:
x³ – x² = 3x² + 25
x³ – x² – 3x² – 25 = 0
x³ – 4x² – 25 = 0
x³ – 4x² – 5² = 0
Aqui chegamos a uma equação de grau 3. Mas nesse caso específico, podemos fazer uma manipulação adequada no fator do 2º grau, de modo que a expressão é facilmente fatorada. Observe:
Reescreva convenientemente o termo – 4x² como – 5x² + x²:
x³ – 5x² + x² – 5² = 0
Coloque x² em evidência nos dois primeiros termos:
x² · (x – 5) + x² – 5² = 0
Os dois últimos termos formam uma diferença entre quadrados. Fatore-os usando produtos notáveis:
• a² – b² = (a + b) · (a – b)
e a equação fica
x² · (x – 5) + (x + 5) · (x – 5) = 0
Agora ponha o fator comum (x – 5) em evidência:
(x – 5) · (x² + x + 5) = 0 <———— equação-produto.
O produto é zero somente se algum dos fatores é zero. Logo, devemos ter
x – 5 = 0 ou x² + x + 5 = 0
x = 5 ou x² + x + 5 = 0 (i)
—————
Verificando as soluções para a equação quadrática:
x² + x + 5 = 0 ———> coeficientes: a = 1; b = 1; c = 5.
Δ = b² – 4ac
Δ = 1² – 4 · 1 · 5
Δ = 1 – 20
Δ = – 19 < 0
Como o discriminante Δ é negativo, então a equação quadrática não possui raízes reais.
—————
Dessa forma, por (i), ficamos apenas com
x = 5 <———— esta é a resposta.
O número procurado é 5.
Bons estudos! :-)