Encontre as raízes da equação : ( está em forma de determinante) 1º linha : x ____ 0 ___ -1/22º li.... Pergunta de ideia deJenniferR

JenniferR @JenniferR

April 2020 1 58 Report

Encontre as raízes da equação : ( está em forma de determinante)

1º linha : x ____ 0 ___ -1/2
2º linha :1____ x____ x
3º linha: 10_____4 ____ x

o determinante é igual a zero

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Celio

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Jennifer,

$\begin{vmatrix} x & 0 & -\frac12\\ 1 & x & x\\ 10 & 4 & x\\ \end{vmatrix}=0\\\\\\ \text{Pela Regra de Sarrus}:\\\\ \begin{vmatrix} x & 0 & -\frac12\\ 1 & x & x\\ 10 & 4 & x\\ \end{vmatrix}\begin{vmatrix} x & 0 \\ 1 & x \\ 10 & 4 \\ \end{vmatrix}=x^3+0-2+5x-4x^2-0=0 \Rightarrow\\\\\\ x^3-4x^2+5x-2=0$

Aplicando-se, agora o Teorema das Raízes Racionais, temos que:

Se $\frac{p}{q}$ é raiz da equação polinomial $a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0,$ então:

$p$ é divisor de $a_0$ e $q$ é divisor de $a_n$

No caso, para que $x^3-4x^2+5x-2=0$ possua raízes racionais do tipo $\frac{p}{q},$ devemos ter:

(1) $p$ divisor de 2, ou seja: $p=\pm2,\pm1$

(2) $q$ divisor de 1, ou seja: $q=\pm1$

Testando-se os valores possíveis de $\frac{p}{q}$ , verificamos que $x=1$ e $x=2$

são soluções desta equação.

Vamos agora procurar pela terceira raiz:

$(x-1)(x-2)(x-a)=0 \Rightarrow (x^2-2x-x+2)(x-a)=0 \Rightarrow \\\\ (x^2-3x+2)(x-a)=0 \Rightarrow x^3 - ax^2 - 3x^2 +3ax + 2x - 2a = 0\\\\ \Rightarrow x^3 - (a+3) x^2 + (3a + 2) x - 2a = 0 \Rightarrow \begin{cases}-(a+3)=-4\\3a+2=5\\-2a=-2 \end{cases} \Rightarrow \\\\\boxed{a=1}$