A alternativa correta é a d. Sabendo que uma P.A e uma P.G tem seus primeiros termos iguais a 4, o segundo termo da P.A excede o da P.G em 2 e os terceiros coincidem, temos então que, ao aplicarmos os dados nas respectivas equações de termo geral, o terceiro termo de ambas é 16.

Progressões numéricas

Na matemática, temos dois tipos de progressões, as aritméticas (PA) e geométricas (PG). Cada uma delas tem suas respectivas aplicações e equações, e para encontrar o termo geral de cada uma, temos:

• Para a PA:
  
  [tex]\boxed{a_n=a_1+(n-1)r}[/tex]
  
  Onde a1 é o primeiro termo, n o n-ésimo termo e r a razão;
  
  
• Para a PG:
  
  [tex]\boxed{a_n=a_1*q^{n-1}}[/tex]
  
  Onde a1 é o primeiro termo, q a razão e n o n-ésimo termo.

Então, para o problema dado, vamos escrever os termos das progressões:

• Termos da P.A.:
  4, 4 + r, 4 + 2r, ... ;
  
  
• Termos da P.G.:
  4, 4q, 4q², ... .

Sabemos que o terceiro termo de ambas as progressões é o mesmo, então igualamos os termos das P.A. e P.G.:

4 + 2r = 4q²

Além disso, sabemos que o segundo termo da P.A. excede o segundo termo da P.G. em 2:

4 + r = 4q + 2

A partir disso, temos um sistema de equações dado por:

[tex]\left \{ {{4 + 2r = 4q^2} \atop {4 + r = 4q + 2}} \right.[/tex]

Multiplicando a segunda por -2, temos:

[tex]\left \{ {{4 + 2r = 4q^2} \atop {-8 -2r = -8q - 4}} \right.[/tex]

Agora, somando-as:

4 - 8 + 2r - 2r = 4q² - 8q - 4

-4 = 4q² - 8q - 4

4q² - 8q = 0

4q * (q - 2) = 0

Então, q = 0 ou q = 2. Como 0 fará com que a P.G seja nula para todos os termos após o primeiro, utiliza-se q = 2. Então, calculando r:

4 + 2r = 4q²

4 + 2r = 16

2r = 12

r = 6

Agora que temos os valores de q e r, podemos encontrar o terceiro termo das progressões aplicando-os em qualquer uma das sequências:

• Terceiro termo da P.A.:
  4 + 2r
  4 + 2(6)
  4 + 12
  16;
  
  
• Terceiro termo da P.G.:
  4q²
  4(2)²
  4(4)
  16.

Portanto, o terceiro termo das progressões é 16. Alternativa d.

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