Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 5 cm e 10 cm e formam antes si um ângulo de 120. Calcule as medidas das diagonais paralelogramo. cos 120° = -1/2
Veja, Alexia, que a resolução é simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.
i) São pedidas as medidas das diagonais de um paralelogramo, cujos dois lados consecutivos medem 5cm e 10cm e formam, entre si, um ângulo de 120º. Antes veja que a soma dos ângulos internos de um paralelogramo é igual a 360º. Se dois lados consecutivos formam um ângulo de 120º, então o ângulo oposto a esse ângulo de 120º também medirá 120º. E os outros dois ângulos opostos também serão iguais. Assim, se chamarmos os outros dois ângulos opostos de "x", teremos:
120 + 120 + x + x = 360 240 + 2x = 360 2x = 360 - 240 2x = 120 x = 120/2 x = 60º <--- Esta é a medida dos outros dois ângulos opostos do paralelogramo.
Assim, nesse paralelogramo temos os seguintes ângulos:
ii) Agora veja que já foi dado que cos(120º) = - 1/2. Então, para calcular a diagonal maior (D), vamos aplicar a lei dos cossenos. Assim, teremos:
D² = 5² + 10² - 2*5*10*cos(120º) ----- como cos(120º) = - 1/2, teremos: D² = 25 + 100 - 100*(-1/2) --- ou apenas (note que "-100*(-1/2) = +100/2": D² = 125 + 100/2 D² = 125 + 50 D² = 175 D = ± √(175) ---- note que 175 = 25*7 = 5²*7. Assim, substituindo, temos: D = ± √(5²*7) ---- como o "5" está ao quadrado, então ele sairá de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos:
D = ± 5√(7) ---- mas como a medida da diagonal não é negativa, então ficaremos apenas com a raiz positiva igual a:
D = 5√(7) cm <--- Esta é a medida da diagonal maior do paralelogramo.
iii) Agora vamos calcular a medida da diagonal menor (d). Note que agora consideraremos o cosseno de 60º, que são os outros dois ângulos opostos. Assim, teremos, também aplicando a lei dos cossenos:
d² = 5² + 10² - 2*5*10*cos(60º) ---- note que cos(60º) = 1/2. Assim, teremos: d² = 25 + 100 - 100*(1/2) --- ou apenas: d² = 125 - 100/2 d² = 125 - 50 d² = 75 d = ± √(75) ---- note que 75 = 25*3 = 5²*3 . Assim, teremos: d = ± √(5²*3) ---- note que o "5", por estar ao quadrado, sairá de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos assim:
d = ± 5√(3) ---- tomando-se apenas a raiz positiva, teremos que: d = 5√(3) cm <--- Esta é a medida da diagonal menor.
iv) Assim, resumindo, temos que as diagonais maior (D) e menor (d) do paralelogramo da sua questão medirão:
D = 5√(7) cm; e d = 5√(3) cm <--- Esta é a resposta.
É isso aí. Deu pra entender bem todo o nosso passo a passo?
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A diagonal com os lado vão formar um triângulosendo D a medida da diagonal
d² = 5² + 10² -2.5.10.cos120
(lei dos cossenos)
d² = 25 + 100 -100.-1/2
d² = 125 + 100/2
d² = 125 + 50
d² = 175
d = √175
d = √5.35
d = √5.5.7
d = 5√7
Veja, Alexia, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.
i) São pedidas as medidas das diagonais de um paralelogramo, cujos dois lados consecutivos medem 5cm e 10cm e formam, entre si, um ângulo de 120º.
Antes veja que a soma dos ângulos internos de um paralelogramo é igual a 360º. Se dois lados consecutivos formam um ângulo de 120º, então o ângulo oposto a esse ângulo de 120º também medirá 120º. E os outros dois ângulos opostos também serão iguais. Assim, se chamarmos os outros dois ângulos opostos de "x", teremos:
120 + 120 + x + x = 360
240 + 2x = 360
2x = 360 - 240
2x = 120
x = 120/2
x = 60º <--- Esta é a medida dos outros dois ângulos opostos do paralelogramo.
Assim, nesse paralelogramo temos os seguintes ângulos:
2 ângulos opostos medindo 120º
2 ângulos opostos medindo 60º.
ii) Agora veja que já foi dado que cos(120º) = - 1/2.
Então, para calcular a diagonal maior (D), vamos aplicar a lei dos cossenos. Assim, teremos:
D² = 5² + 10² - 2*5*10*cos(120º) ----- como cos(120º) = - 1/2, teremos:
D² = 25 + 100 - 100*(-1/2) --- ou apenas (note que "-100*(-1/2) = +100/2":
D² = 125 + 100/2
D² = 125 + 50
D² = 175
D = ± √(175) ---- note que 175 = 25*7 = 5²*7. Assim, substituindo, temos:
D = ± √(5²*7) ---- como o "5" está ao quadrado, então ele sairá de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos:
D = ± 5√(7) ---- mas como a medida da diagonal não é negativa, então ficaremos apenas com a raiz positiva igual a:
D = 5√(7) cm <--- Esta é a medida da diagonal maior do paralelogramo.
iii) Agora vamos calcular a medida da diagonal menor (d). Note que agora consideraremos o cosseno de 60º, que são os outros dois ângulos opostos. Assim, teremos, também aplicando a lei dos cossenos:
d² = 5² + 10² - 2*5*10*cos(60º) ---- note que cos(60º) = 1/2. Assim, teremos:
d² = 25 + 100 - 100*(1/2) --- ou apenas:
d² = 125 - 100/2
d² = 125 - 50
d² = 75
d = ± √(75) ---- note que 75 = 25*3 = 5²*3 . Assim, teremos:
d = ± √(5²*3) ---- note que o "5", por estar ao quadrado, sairá de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos assim:
d = ± 5√(3) ---- tomando-se apenas a raiz positiva, teremos que:
d = 5√(3) cm <--- Esta é a medida da diagonal menor.
iv) Assim, resumindo, temos que as diagonais maior (D) e menor (d) do paralelogramo da sua questão medirão:
D = 5√(7) cm; e d = 5√(3) cm <--- Esta é a resposta.
É isso aí.
Deu pra entender bem todo o nosso passo a passo?
OK?
Adjemir.