Resposta:

Para resolver a integral 5x+1/(2x + 1)(x - 1) dx, é preciso fazer a decomposição em frações parciais:

5x+1/(2x + 1)(x - 1) = A/(2x + 1) + B/(x - 1)

Multiplicando ambos os lados por (2x + 1)(x - 1), temos:

5x + 1 = A(x - 1) + B(2x + 1)

Substituindo x = 1, encontramos:

6 = 3B

B = 2

Substituindo x = -1/2, encontramos:

-9/4 = -3A/2

A = 3/8

Portanto, temos:

5x+1/(2x + 1)(x - 1) dx = 3/8(1/(2x + 1)) + 2/(x - 1) dx

Para integrar, basta usar as propriedades da integral e obter:

3/8 ln|2x + 1| + 2 ln|x - 1| + C

onde C é a constante de integração.

Para resolver a integral 2/2x²+3x+1 dx, é possível usar a técnica de completar o quadrado no denominador:

2/2x²+3x+1 = 2/(2(x²+(3/2)x+1/4)-1/4) = 2/(2(x+3/4)²-1/2²)

Fazendo a substituição u = x+3/4, temos:

2/(2(x+3/4)²-1/2²) dx = 1/(u²-1/2²) du

Esta integral pode ser resolvida usando a substituição trigonométrica u = (1/2)secθ, que leva a:

1/(u²-1/2²) du = (2/√2) tan⁻¹(u/√2) + C

Substituindo de volta a expressão original para u, temos:

2/(2(x+3/4)²-1/2²) dx = (2/√2) tan⁻¹((x+3/4)/(√2/2)) + C

Simplificando:

2/(2x²+3x+1) dx = (2/√2) tan⁻¹((2x+3)/(2√2)) + C

onde C é a constante de integração.