[tex] \int \limits_{0}^{2} \sin^{2} (2x) \: dx \: \to \: \begin{cases}par \to \: \sin^{2} (x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \\ impar \to \sin^{2}(x) + \cos ^{2}(x) = 1 \end{cases} \\ [/tex]

Como o expoente do seno é par, então utilizaremos essa primeira relação.

• Vale ressaltar que devido ao argumento do seno ser (2x), essa relação será:

[tex] \sin^{2}(2x) = \frac{1 - \cos(2.2x)}{2} \: \to \: \sin^{2} (x) = \frac{1 - \cos(4x)}{2} \\ [/tex]

Substituindo essa informação na integral:

[tex] \int \limits_{0}^{2} \left( \frac{1 - \cos(4x)}{2} \right) \: dx \: \to \: \int \limits_{0}^{2} \frac{1}{2} .(1 - \cos(4x)) \: dx\\ \\ \frac{1}{2} \int \limits_{0}^{2}(1 - \cos(4x)) \: dx \: \to \: \frac{1}{2} . \left ( \int \limits_{0}^{2}1 \: dx - \int \limits_{0}^{2} \cos(4x) \: dx \right)[/tex]

Resolvendo essas integrais separadamente, tem-se:

[tex] \int \limits_{0}^{2}1 \: dx \: = \left[ \frac{x}{1} \right ] _{0}^{2} =\left[ \frac{2 }{1} - \frac{0}{1} \right ] = 2\\ \\ \int \limits_{0}^{2} \cos(4x) \: dx \: \to \: {\sf \: por \: substituicao} \\ u = 4x \: \to \: \frac{du}{dx} = 4 \: \to \: \frac{du}{4} = dx \\ \int \limits_{0}^{2} \cos(u). \frac{du}{4} \: \to \: \frac{1}{4} \int \limits_{0}^{2} \cos(u) \: du \\ \frac{1}{4}. \left[ \frac{ \sin(u)}{1} \right]_{0} ^{2} \: \to \: \frac{1}{4}. \left[ \frac{ \sin(4x)}{1} \right]_{0} ^{2} \\ \frac{1}{4}.\left[ \frac{ \sin(4.2)}{1} - \frac{ \sin(4.0)}{1} \right] = \frac{ \sin(8)}{4} [/tex]

Substituindo os resultados:

[tex] \frac{1}{2} . \left(2 - \frac{ \sin(8)}{4} \right) = 1 - \frac{ \sin(8)}{8} = \boxed{\boxed{\frac{8 - \sin(8)}{8}}} \\ [/tex]