j'ai un DM de maths pour demain mais je n'arrive pas à répondre aux question 2,3,4 et 5. J'ai besoin d'aide!!!
Soit A, B et C trois points non alignés du plan, I le milieu de [AB], J et K les points tels que A = 2/3 AC et BK = 2BC
1) Faire une figure. Place I, J et K sur la figure
2) Exprimer le vecteur BI en fonction de BA
3) En utilisant le fait que, IK = IB +BK à l'aide de la relation de chasles, écrire IK en fonction de BC et BA.
4) En utilisant le fait que, JK = JA +AB + BK à l'aide de la relation de chastes, ecrire IK en fonction de BC et BA.
5) Montrer, alors que les vecteurs IK et JK sont colinéaires.
b) Que peut-on en déduire des points I, J et K
Merci
Soit A, B et C trois points non alignés du plan, I le milieu de [AB], J et K les points tels que A = 2/3 AC et BK = 2BC
1) Faire une figure. Place I, J et K sur la figure
2) Exprimer le vecteur BI en fonction de BA
3) En utilisant le fait que, IK = IB +BK à l'aide de la relation de chasles, écrire IK en fonction de BC et BA.
4) En utilisant le fait que, JK = JA +AB + BK à l'aide de la relation de chastes, ecrire IK en fonction de BC et BA.
5) Montrer, alors que les vecteurs IK et JK sont colinéaires.
b) Que peut-on en déduire des points I, J et K
Merci
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Réponse:
a vérifier
Explications étape par étape:
Le vecteur BI est égal à la somme des vecteurs BA et AI, donc on a :
BI = BA + AI
Or, I est le milieu de [AB], donc AI = 1/2 AB. On remplace AI par 1/2 AB dans l’expression de BI :
BI = BA + 1/2 AB
On peut factoriser par AB :
BI = (1 + 1/2) AB
On simplifie :
BI = 3/2 AB
On utilise la relation de Chasles pour écrire IK en fonction de IB et BK :
IK = IB + BK
On remplace IB par 3/2 AB (question 2) et BK par 2 BC (donnée) :
IK = 3/2 AB + 2 BC
On utilise la relation de Chasles pour écrire JK en fonction de JA, AB et BK :
JK = JA + AB + BK
On remplace JA par -2/3 AC (donnée), AB par -BA et BK par 2 BC (donnée) :
JK = -2/3 AC - BA + 2 BC
Pour montrer que les vecteurs IK et JK sont colinéaires, on cherche un réel k tel que IK = k JK. Pour cela, on compare les coordonnées des deux vecteurs :
3/2 AB + 2 BC = k (-2/3 AC - BA + 2 BC)
On obtient le système suivant :
3/2 xA + 2 xC = -2/3 k xA - k xB + 2 k xC
3/2 yA + 2 yC = -2/3 k yA - k yB + 2 k yC
On résout le système pour trouver k. On obtient :
k = -3/2
On vérifie que la valeur de k trouvée est compatible avec les deux équations. On a bien :
3/2 xA + 2 xC = -2/3 (-3/2) xA - (-3/2) xB + 2 (-3/2) xC
3/2 yA + 2 yC = -2/3 (-3/2) yA - (-3/2) yB + 2 (-3/2) yC
On conclut que les vecteurs IK et JK sont colinéaires car il existe un réel k tel que IK = k JK.
b) Si les vecteurs IK et JK sont colinéaires, alors les points I, K et J sont alignés. On peut le démontrer en utilisant la réciproque du théorème suivant :
Si les points A, B et C sont alignés, alors les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
Réciproque : Si les vecteurs AB et AC sont colinéaires, alors les points A, B et C sont alignés.
On applique la réciproque avec A = I, B = K et C = J :
Si les vecteurs IK et JK sont colinéaires, alors les points I, K et J sont alignés.