Se x+y=pi/3, então cos (3x-3y) =??.... Pergunta de ideia deVestibulanda

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Olá Vestibulanda!

Isolemos "x" na equação:

$x + y = \frac{\pi}{3} \\\\ \boxed{x = \frac{\pi}{3} - y}$

Agora, podemos substituí-lo em cos (3x - 3y), veja:

$\cos (3x - 3y) = \\ \cos \left [3 \times \left ( \frac{\pi}{3} - y \right ) - 3y \right ] = \\\\ \cos \left ( \pi - 3y - 3y \right ) = \\ \cos \left ( \pi - 6y \right ) = \\\\ \text{sabendo que:} \;\; \cos (a - b) = \cos a \times \cos b + \sin a \times \sin b \;\;\; \text{temos:} \\\\ \cos \pi \times \cos (6y) + \sin \pi \times \sin (6y) = \\ - 1 \times \cos (6y) + 0 \times \sin (6y) = \\ \boxed{- \cos (6y)}$

Seguindo o mesmo raciocínio, só que agora, devemos isolar "y":

$x + y = \frac{\pi}{3} \\\\ \boxed{y = \frac{\pi}{3} - x}$

Substituindo em cos (3x - 3y):

$\cos (3x - 3y) = \\ \cos \left [3x - 3 \times \left ( \frac{\pi}{3} - x \right ) \right ] = \\\\ \cos \left (3x - \pi + 3x \right ) = \\ \cos \left (6x - \pi \right ) = \\\\ \text{lembrando que:} \;\; \cos (a - b) = \cos a \times \cos b + \sin a \times \sin b \;\;\; \text{temos:} \\\\ \cos (6x) \times \cos (\pi) + \sin (6x) \times \sin (\pi) = \\ \cos (6x) \times - 1 + \sin (6x) \times 0 = \\ \boxed{- \cos (6x)}$

Igualando...

$- \cos (6x) = - \cos (6y) \\ - \cos(6x + 2k'\pi) = - \cos(6y + 2k''\pi) \;\;\;\;\; k', k'' \in \mathbb{Z} \\ 6x + 2k'\pi = 6y + 2k''\pi \;\;\; \div(2 \\ 3x - 3y = k''\pi - k'\pi \\ 3x - 3y = (k'' - k')\pi$

Com efeito, $\cos (3x - 3y) = \cos [(k'' - k')\pi]$

Logo,

$\cos(3x - 3y) = \begin{cases} 1, \ \text{se} \; (k'' - k') \; \acute{e} \; \text{par}; \\ - 1, \ \text{se} \; (k'' - k') \; \acute{e} \; \text{impar}. \end{cases}$

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Celio

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Olá, Vestibulanda.

$x+y=\frac{\pi}3 \Rightarrow x=\frac{\pi}3-y \Rightarrow 3x=\pi-3y \Rightarrow 3x-3y=\pi-6y \\\\ \cos(3x-3y)=\cos(\pi-6y)=\underbrace{\cos\pi}_{=-1}\cdot\cos 6y+\underbrace{\sin\pi}_{=0}\cdot\sin6y=-\cos 6y$

Por outro lado, temos também:

$x+y=\frac{\pi}3 \Rightarrow y=\frac{\pi}3-x \Rightarrow 3y=\pi-3x \Rightarrow -3y=-\pi+3x \Rightarrow \\ 3x-3y=6x-\pi \\\\ \cos(3x-3y)=\cos(6x-\pi)=\cos 6x \cdot \underbrace{\cos\pi}_{=-1}+\sin6y \cdot \underbrace{\sin\pi}_{=0} =\\=-\cos 6x$

Portanto, temos que:

$-\cos6x=-\cos6y \Rightarrow \\\\ 6x+2k_1\pi=6y+2k_2\pi, k_1,k_2 \in \mathbb{Z} \Rightarrow \\\\ 3x+k_1\pi=3y+k_2\pi \Rightarrow \\\\ 3x-3y=(k_2-k_1)\pi \Rightarrow \\\\ 3x-3y \in \{...,-3\pi,-2\pi,-\pi,0,\pi,2\pi,3\pi,...\}$

Portanto:

$\boxed{\cos (3x-3y) = \begin{cases} 1, \text{ se }3x-3y=k\pi,k\text{ par}\\ -1, \text{ se }3x-3y=k\pi,k\text{ \'impar}\\ \end{cases}}$

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