3. Sobre uma malha formada por várias circunferências concêntricas (mesmo centro), José desenhou o logotipo azul e laranja da figura. A diferença entre a medida dos raios de quaisquer duas circunferências consecutivas é de uma unidade, e o ângulo entre quaisquer duas semirretas consecutivas que concor- rem no centro mede 30º. A área da região azul do logotipo é quantas vezes maior que a área da região laranja? (A) 1. (B) 1,5. (C) 2. (D) 2,5. Valendo 20 pontos. Favor só responder se tiver os cálculos!!
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A área da região azul é duas vezes maior que a área da região laranja, alternativa C.
Começando pela área da região azul, temos que ela é formada por dois setores circulares de ângulo 60°, ou seja, os dois arcos formam um setor circular de 120° da circunferência maior.
Supondo que a circunferência menor tem raio 1, a circunferência maior tem raio 6, neste caso, a área é:
A(azul) = π·r²·120°/360°
A(azul) = π·6²/3
A(azul) = 12π
A área da região laranja é formada por dois setores circulares de ângulo 120°, formando um setor de ângulo 240° e raio 3, então:
A(laranja) = π·3²·240°/360°
A(laranja) = π·3²·2/3
A(laranja) = 6π
Calculando a razão das áreas, teremos:
A(azul)/A(laranja) = 12π/6π = 2
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