Resposta:

f^(-1)(x) = -1.

Explicação passo-a-passo:

Para determinar a função inversa de f(x) = x^2 - x - 2, primeiro devemos trocar x e y na expressão e, em seguida, resolver para y.

Começamos com a expressão original:

y = x^2 - x - 2

Em seguida, trocamos as variáveis x e y:

x = y^2 - y - 2

Agora, vamos resolver essa equação para y.

x = y^2 - y - 2

0 = y^2 - y - 2 - x

Podemos resolver essa equação usando a fórmula quadrática ou completando o quadrado. Vamos usar a fórmula quadrática:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Nesse caso, a = 1, b = -1 e c = -2. Substituindo esses valores na fórmula quadrática, temos:

y = (1 ± √((-1)^2 - 4(1)(-2))) / (2(1))

y = (1 ± √(1 + 8)) / 2

y = (1 ± √9) / 2

Simplificando a raiz quadrada, temos:

y = (1 ± 3) / 2

Agora, precisamos determinar qual das duas soluções é válida de acordo com o domínio original da função f(x). Sabemos que f(x) está definida no intervalo ] - ∞; 1/2 ]. Portanto, a solução válida é:

y = (1 - 3) / 2

y = -1

Portanto, a função inversa de f(x) é f^(-1)(x) = -1.