A abcissa do ponto onde o gráfico de f(x) = -x + 5 intercepta o eixo x é 5.

Função afim

Para determinar a função f(x)=ax+b dada a informação de que ela é decrescente e que f(3)=2 e f(f(1))=1 podemos usar os seguintes passos:

• Passo 1: Determinar o sinal de 'a':

Como sabemos que a função é decrescente, o coeficiente 'a' deve ser negativo. Se 'a' fosse positivo, a função seria crescente.

• Passo 2: Encontrar os valores de 'a' e 'b':

Temos duas informações para trabalhar:

a) [tex]\(f(3) = 2\)[/tex]

b) [tex]\(f(f(1)) = 1\)[/tex]

Vamos começar com a primeira informação:

a)[tex](f(3) = 2\)[/tex]

Para [tex]\(x = 3\)[/tex], a função [tex](f(x)\)[/tex] torna-se:

[tex]\(f(3) = a(3) + b = 2\)[/tex]

Passo 3: Usar a segunda informação para encontrar 'a' e 'b':

b)[tex]\(f(f(1)) = 1\)[/tex]

Primeiro, encontrar o valor de [tex]\(f(1)\)[/tex]:

[tex]\(f(1) = a(1) + b = a + b\)[/tex]

Então, para[tex]\(x = f(1)\)[/tex], a função [tex]\(f(x)\)[/tex] se torna:

[tex]\(f(f(1)) = a(f(1)) + b = a(a + b) + b = a^2 + ab + b\)[/tex]

Agora, sabemos que [tex]\(f(f(1)) = 1\)[/tex], então temos a equação:

[tex]\(a^2 + ab + b = 1\)[/tex]

Passo 4: Resolver para 'a' e 'b':

Temos duas equações com base nas informações:

1)[tex]\(a(3) + b = 2\)[/tex]

2)[tex]\(a^2 + ab + b = 1\)[/tex]

Vamos resolver a primeira equação para 'b':

[tex]\(b = 2 - 3a\)[/tex]

Agora substituindo a expressão por 'b' na segunda equação:

[tex]\(a^2 + a(2 - 3a) + (2 - 3a) = 1\)[/tex]

Expandindo a equação:

[tex]\(a^2 + 2a - 3a^2 + 2 - 3a = 1\)[/tex]

Combinando termos semelhantes:

[tex]\(-2a^2 - a + 2 = 1\)[/tex]

Movendo todos os termos para um lado para definir a equação como zero:

[tex]\(-2a^2 - a + 1 = 0\)[/tex]

Passo 5: Resolver para 'a':

Esta é uma equação quadrática, e podemos usar a fórmula quadrática para encontrar 'a':

A fórmula quadrática: [tex]\(a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)[/tex]

No nosso caso, [tex]\(a = -2\), \(b = -1\) e \(c = 1\):[/tex]

[tex]\(a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(-2)(1)}}{2(-2)}\)[/tex]

[tex]\(a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{-4}\)[/tex]

[tex]\(a = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{-4}\)[/tex]

[tex]\(a = \frac{1 \pm 3}{-4}\)[/tex]

Agora, obtemos dois valores potenciais para 'a':

1)[tex]\(a = \frac{1 + 3}{-4} = \frac{4}{-4} = -1\)[/tex]

2) [tex]\(a = \frac{1 - 3}{-4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}\)[/tex]

Como estabelecemos anteriormente que 'a' deve ser negativo para que a função seja decrescente, o valor correto para 'a' é \(-1\).

Passo 6: Encontrar 'b':

Agora que temos 'a', podemos encontrar 'b' usando uma das equações que derivamos anteriormente:

[tex]\(b = 2 - 3a\)[/tex]

Substitua 'a' por [tex]\(-1\)[/tex]:

[tex]\(b = 2 - 3(-1) = 2 + 3 = 5\)[/tex]

Assim, a função [tex]\(f(x)\)[/tex] é [tex]\(f(x) = -x + 5\)[/tex].

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