Como é sabido, 1 grau tem 60 minutos. Lembrando que o símbolo ( ' ) representa minutos. Portanto sabendo disso, sabemos que 30' tem:

[tex] \begin{cases}1^{o} \to 60 ' \\ x \to 30'\end{cases} \: \: \to \: \: x = 0,5 ^{o} [/tex]

Substituindo esse resultado, então:

[tex]22^{o} 30' = 22^{o} + 0,5^{o} = 22,5 ^{o} [/tex]

Realizando o produto notável:

[tex]( \sin22,5 ^{o} + \cos 22,5 ^{o} ) ^{2} = ( \sin22,5 ^{o} )^{2} + 2. \sin( 22,5 ^{o} ). \cos(22,5 ^{o} ) + ( \cos22,5 ^{o})^{2} \\ [/tex]

Através da relação fundamental da trigonometria, sabemos que sen²(x) + cos²(x) = 1, então:

[tex]( \sin22,5 ^{o} + \cos 22,5 ^{o} ) ^{2} = ( \sin22,5 ^{o} )^{2} + ( \cos22,5 ^{o})^{2} + 2. \sin( 22,5 ^{o} ). \cos(22,5 ^{o} ) \\ \\ ( \sin22,5 ^{o} + \cos 22,5 ^{o} ) ^{2} = 1 + 2. \sin( 22,5 ^{o} ). \cos(22,5 ^{o} ) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]

Analisando essa expressão do meio, podemos observar que é basicamente a fórmula da expressão do arco duplo do seno.

[tex] \sin(2x) =2. \sin(x). \cos(x) \\ \\ 2 \: . \: \sin22,5° \: . \: \cos22,5° = \sin(2 \: . \: 22,5°) \\ \\ \sin(2 \: . \: 22,5°) = \sin(45 {}^{o} )[/tex]

Substituindo esse resultado:

[tex]\sin22,5° + \cos22,5°)^{2} = 1 + \sin(45 ^{o} ) \\ \\ \sin22,5° + \cos22,5°)^{2} = 1 + \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ \sin22,5° + \cos22,5°)^{2} = \boxed{\frac{2 + \sqrt{2} }{2} }\\[/tex]

Portanto, temos que:

[tex] \boxed{( \sin22,5° + \cos22,5°)^{2} = \frac{2 + \sqrt{2} }{2} }[/tex]

Espero ter ajudado