Primeiramente temos que ver o seguinte:

Se 0 < α < π/4  cos 0 < cos α < cos π/4 → 1 < cos α < √2/2

Agora temos que 1 < √2 +√2 + 2cosα < √2/2

Temos assim:

(i) √2 + √2 + 2cosα < √2/2

(ii) √2 + √2 + 2cosα > 1

De (i) temos,

√2 + √2 + 2cosα < √2/2, elevando ambos os lados ao quadrado

(√2 + √2 + 2cosα)² < (√2/2)² → 2 + √2 + 2cosα < 2/4 → 2 + √2 + 2cosα < 1/2 → √2 + 2cosα < 1/2 - 2 → √2 + 2cosα < -3/2, elevando ao quadrado temos

(√2 + 2cosα)² < (-3/2)² → 2 + 2cosα < 9/4 → 2cosα < 9/4 - 2 → 2cosα < 1/4 → cosα < 1/4.2 → cosα < 1/8

De (ii) temos

√2 + √2 + 2cosα > 1, elevando ao quadrado ambos os membros temos

(√2 + √2 + 2cosα)² > 1 → 2 + √2 + 2cosα > 1 → √2 + 2cosα > 1 - 2 → √2 + 2cosα > -1, elevando ao quadrado novamente

(√2 + 2cosα)² > (-1)² → 2 + 2cosα > 1 → 2cosα > 1 - 2 → 2cosα > -1 → cosα > -1/2

Portanto temos,

-1/2 < cosα < 1/8