Considerando a imagem abaixo (extraída do Google) e sabendo que o lado do quadrado maior vale 1 e que o lado de cada quadrado seguinte vale metade do lado anterior (ou seja, o segundo vale 1/2; o terceiro vale 1/4 e etc) É correto afirmar que o somatório da "concha de caracol"(as partes de circunferência) no ∞ termo valerá exatamente Π ?
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Resposta:
Explicação passo a passo:
No primeiro quadrado temos:
lado = raio = 1
O comprimento (C) de uma circunferência vale C = 2πr. Mas nesse quadrado temos um quarto do seu comprimento: C₁ = 2πr₁/4 = πr₁/2
C₁ = π.1/2 = π/2
No segundo quadrado temos:
lado = raio = 1/2
C₂ = 2πr₂/4 = πr₂/2
C₂ = π.(1/2)/2 = π/4
No terceiro quadrado temos:
lado = raio = 1/4
C₃ = 2πr₃/4 = πr₃/2
C₃ = π.(1/4)/2 = π/8
e assim consecutivamente
C (π/2, π/4, π/8, ....)
Temos uma PG onde:
a₁ = π/2
q = (π/4)/(π/2)=1/2
Soma dos termos de uma PG infinita
S = a₁/(1 - q)
S = (π/2)/(1 - 1/2)
S = (π/2)/(1/2)
S = π