Verified answer

Resposta: A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que realizaremos, é possível verificar que o número 3²⁰²² - 1 é múltiplo de 7.

Os múltiplos de um número são o resultado da multiplicação do número natural por outro número natural, portanto, um número é múltiplo de outro se o contiver um número inteiro de vezes. Os múltiplos de um número natural são infinitos, matematicamente podemos representá-lo como: o múltiplo do número é igual ao número principal vezes qualquer número natural.

Para identificar se um número é múltiplo de outro, a alternativa mais simples é realizar uma divisão entre os dois números, verificando se o quociente é um número inteiro (isso significa que não há vírgula) e o resto ou resto da divisão é 0, tendo a divisão com as características acima podemos concluir que o número é um múltiplo do outro.

Isso significa que para o número 3²⁰²² - 1 ser um múltiplo de 7, devemos obter um resto 0. Mas se podemos ver o número 3²⁰²² - 1 é muito difícil saber que número é, pois é um número elevado a um expoente bastante longo, então para encontrar o resto da divisão vamos aplicar a aritmética modular e a congruência de números.

Congruência é um termo usado na teoria dos números para designar que dois inteiros [tex]{\displaystyle a\,\textstyle {\text{e}}\displaystyle \,b}{\displaystyle a\,\textstyle {\text{e }}\displaystyle \,b}[/tex] tem o mesmo resto quando dividido por um número natural [tex]{\displaystyle m\,\neq \,0}[/tex], chamado módulo; isso é expresso usando a notação:

[tex]a \equiv b ~(\rm{mod}~m) [/tex]

Isso é expresso dizendo que:[tex] {\displaystyle a\,}[/tex] é congruente com [tex]{\displaystyle b\,}[/tex] modulo [tex]{\displaystyle m\,}[/tex]. Daí é definido que dois números a e ab e b são congruentes no módulo [tex]{\displaystyle m\,\neq \,0}[/tex]:

• Nossa congruência será escrita como:

[tex]3^{2022}-1\equiv 3^{2022}-1~(\rm{mod} ~7)[/tex] (i)

Para resolver essa congruência, primeiro vamos encontrar o resto do número [tex]2^{2022}[/tex] entre o número 7, mas primeiro devemos saber que o expoente 2022 pode ser escrito como:

[tex] 2022= 7\cdot 288+6[/tex]

• Assim, descrevendo o expoente como:

[tex]3^{2022}=3^{2\cdot 1011}= (3^2)^{1011}[/tex]

Então, se encontrarmos o resto de [tex]3^{2022}[/tex] com a ajuda da outra expressão, podemos concluir que:

[tex]3^{2022}\equiv (3^2)^{1011}~(\rm{mod}~7)[/tex]

Primeiro vamos encontrar o resto da divisão do número [tex]3^2[/tex] pelo número 7:

[tex]\Longrightarrow ~3^2~(\rm{mod}~7)\\\\ ~\Longleftrightarrow~ 9(\rm{mod}~7 )= 7\cdot 1 + 2\\\\ \Longleftrightarrow ~3^2\equiv 2(\rm{mod}~7) [/tex]

Substituindo o valor restante em nossa expressão anterior, obteremos:

[tex]\Longrightarrow ~3^{2022}\equiv (2)^{1011}~(\rm{mod}~7)\\\\ \Longleftrightarrow ~ 3^{2022}\equiv (2^3)^{337}~(\rm{mod}~7) \\\\ \Longleftrightarrow ~3^{2022}\equiv (8)^{337}~(\rm{mod}~7) [/tex]

• Encontrando o resto do número 8 por 7:

[tex]8~(\rm{mod}~7)= 7\cdot 1 + 1[/tex]

Então podemos concluir que o resto da divisão é igual:

[tex] \Longrightarrow ~3^{2022}\equiv (1)^{337}~(\rm{mod}~7)\\\\ \Longleftrightarrow ~3^{2022}\equiv 1~(\rm{mod}~7) [/tex]

Então aplicando o resultado obtido à expressão (i) verifica-se que:

[tex]\Longrightarrow ~3^{2022}-1\equiv 3^{2022}-1~(\rm{mod} ~7)\\\\ \Longleftrightarrow ~3^{2022}-1\equiv 1 -1~(\rm{mod}~ 7)\\\\ \Longleftrightarrow ~ 3^{2022}-1\equiv 0~(\rm{mod}~ 7)[/tex]

Podemos ver que o resto desta divisão é igual a 0.

Conclusão: Feitos os cálculos, concluímos que o número 3²⁰²² - 1 é divisível por 7, pois deixa 0 como resto e isso significa que 3²⁰²² - 1 é múltiplo de 7.

Bons estudos e espero que te ajude :)

Dúvidas? Comente