No trapézio ABCD da figura a seguir, os
ângulos internos em A e B são retos, e o ângulo interno
em D é tal que sua tangente vale 5/6. Se AD=2.AB, o
volume do sólido obtido ao se girar o trapézio em torno
da reta por B e C é dado por:
ângulos internos em A e B são retos, e o ângulo interno
em D é tal que sua tangente vale 5/6. Se AD=2.AB, o
volume do sólido obtido ao se girar o trapézio em torno
da reta por B e C é dado por:
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Inicialmente, vamos obter medidas que nos são fornecidas pela afirmativa de que a tangente do ângulo D é igual a 5/6.
A tangente de um ângulo é igual ao cateto oposto dividido pelo cateto adjacente. O cateto oposto é a medida de a:
a = 5
O lado AD mede 2a, então:
AD = 2 × 5
AD = 10
O cateto adjacente é igual 6. Então, o lado BC será igual a:
BC = AD - 6
ou, como AD = 2a:
BC = 2a - 6
Como 2a = 10:
BC = 10 - 6
BC = 4
Obtidas estas medidas, podemos calcular agora o volume do sólido gerado quando o trapézio gira em torno do lado BC.
Este sólido pode ser considerado como a soma de dois sólidos: um cilindro e um cone.
O volume do cilindro é definido pelo raio de sua base (a = AB = 5) e pela sua altura (h = BC = 4).
A sua base é um círculo, cuja área é igual a:
Ab = π × r²
Ab = 3,14 × 5²
Ab = 78,5 (unidades ao quadrado)
O volume do cilindro, então, é igual a:
Vci = 78,5 × 4
Vci = 314 (unidades ao cubo)
O volume do cone (Vco) é igual a 1/3 do produto da área de sua base pela sua altura (h = 6 = cateto adjacente do ângulo D).
A base do cone é a mesma do cilindro. Então:
Vco = 78,5 × 6 ÷ 3
Vco = 157 (unidades de medida ao cubo)
Então, o volume do sólido gerado pelo giro do trapézio (Vt) será igual a:
Vt = Vci + Vco
Vt = 314 + 157
Vt = 471 (unidades de medida ao cubo)
Ou, então:
Vt = [πa²(AD - BC) ÷ 3] + [πa² × BC]