90 pontos Simplifique em uma só passagem - Oque significa e como fazer?.... Pergunta de ideia deZenoSama

TesrX

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Olá.

“Simplificar frações em uma só passagem”, basicamente, significa dividir o numerador e o denominador por um valor máximo que é divisor dos dois ao mesmo tempo.

Como encontrar os divisores máximos?

Todo número inteiro n, diferente de 1, pode ser expresso como o produto de dois ou mais números.

Exemplos:

$\mathsf{n=a\cdot
b~|~n\in\mathbb{Z}^{\ast}}\\\\\\\begin{array}{rl}\mathsf{2}&\mathsf{2\cdot1}\\\\\mathsf{42}&\mathsf{2\cdot3\cdot7}\\\\\mathsf{102}&\mathsf{2\cdot3\cdot17}\\\\\mathsf{152}&\mathsf{2\cdot2\cdot2\cdot19}\\\\\mathsf{252}&\mathsf{2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot7}\\\\\mathsf{504}&\mathsf{2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot7}\\\\\mathsf{3.780}&\mathsf{2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7}\end{array}$

Em casos de números grandes, recomendo o uso de fatoração por fatores primos. Consiste basicamente em dividir um número por fatores primos (iniciando com o 2 e aumentando) até que o quociente final seja 1. Exemplo:

$\begin{array}{r|l}
66.679.200&2\\ 33.339.600&2\\ 16.669.800&2\\ 8.334.900&2\\
4.167.450&2\\ 2.083.725&3\\ 694.575&3\\ 231.525&3\\
77.175&3\\ 25.725&3\\ 8.575&5\\ 1.715&5\\ 343&7\\ 49&7\\
7&7\\ 1\end{array}$

Com essa fatoração, é possível escrever o mesmo número inicial dessa forma:

$\mathsf{66.679.200=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot7\cdot7}\\\\
\mathsf{66.679.200=2^5\cdot3^5\cdot5^2\cdot7^3}$

Enfim, para complementar, dou um exemplo da aplicação da fatoração.

$\textsf{--------------------------------------------------}$

$\textsf{Exemplo:}~\mathsf{\dfrac{17.640}{48.510}}$

Fatorando ambos os números, teremos:

$\begin{array}{ccc}
\begin{array}{r|l} 17.640&2\\ 8.820&2\\ 4.410&2\\ 2.205&3\\
735&3\\ 245&5\\ 49&7\\ 7&7\\ 1\end{array}&~~~~~~~~~~&
\begin{array}{r|l}48.510&2\\ 24.255&3\\ 8.085&3\\ 2.695&5\\
539&7\\ 77&7\\ 11&11\\ 1\end{array}\\\\\\
\mathsf{2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7\cdot7}&&\mathsf{2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7\cdot7\cdot11}
\end{array}$