Veja, Patrícia, que: conforme a "foto" anexada, temos uma equação do 2º grau da forma f(x) = ax² + bx + c, com um valor máximo da função no ponto (2; 3), ou seja, o ponto que dá as coordenadas do vértice (xv; yv) é o ponto (2; 3). Tem-se também que uma das raízes da equação é "-1" (ou seja, é x' = - 1). A outra raiz não foi dada. Mas com essas informações dará pra encontrar qual é a equação que tem o gráfico representado na "foto" anexada.
Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Se uma raiz da equação dada é igual a "-1", então quando substituirmos o "x" ~por "-1" na função dada [f(x) = ax² + bx + c] deveremos igualar f(x) a zero, pois toda raiz zera a função da qual ela é raiz. Assim, teremos:
a*(-1)² + b*(-1) + c = 0 ----- como (-1)² = 1, teremos: a*(1) + b*(-1) + c = 0 ---- desenvolvendo, ficaremos com: a - b + c = 0 ----- isolando "a", teremos: a = b - c . (I)
ii) Como o vértice é o ponto de máximo (2; 3), então vamos ver qual é a fórmula que dá tanto o "x" do vértice (xv) como o "y" do vértice (yv). Assim teremos:
ii.1)
xv = -b/2a ------ como o "x" do vértice é igual a "2", teremos: 2 = -b/2a ---- multiplicando-se em cruz, teremos: 2a*2 = -b 4a = - b ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos: - 4a = b ---- vamos apenas inverter, ficando: b = - 4a . (II)
Mas veja que, conforme a expressão (I), temos que:
a = b - c ----- substituindo-se "b" por "-4a", conforme vimos na expressão (II) acima, teremos:
a = -4a - c ---- passando "-4a" para o 1º membro, teremos: a + 4a = - c 5a = - c ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos: - 5a = c ---- vamos apenas inverter, ficando: c = - 5a . (III)
ii.2) Agora vamos para o "y" do vértice (yv), cuja fórmula é esta:
yv = - (b² - 4ac)/4a ---- substituindo-se "yv" por "3, teremos: 3 = - (b² - 4ac)/4a ------ multiplicando-se em cruz, teremos: 4a*3 = - (b² - 4ac) 12a = - (b² - 4ac) ---- vamos apenas inverter, ficando: - (b² - 4ac) = 12a ------ mas "b" = - 4a e c = - 5a, conforme vimos nas expressões (II) e (III), respectivamente. Então vamos substituir "b" e "c" por esses valores,com o que ficaremos assim:
- ((-4a)² - 4a*(-5a)) = 12a - (16a² + 20a²) = 12a - (36a²) = 12a ---- retirando-se os parênteses, teremos: - 36a² = 12a ----- se dividirmos ambos os membros por "12a" ficaremos apenas com:
- 3a = 1 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos: 3a = - 1 a = - 1/3 <---- Este será o valor do termo "a" da função f(x) = ax² + bx + c.
iii) Agora vamos para as expressões (II) e (III) e, nelas, vamos substituir "a' por "-1/3" para encontrarmos os valores dos termos "b" e "c". Assim teremos:
iii.1) Pela expressão (II), temos que:
b = - 4a ----- substituindo-se "a" por "-1/3", teremos: b = -4*(-1/3) b = 4/3 <--- Este é o valor do termo "b" da função f(x) = ax² + bx + c
iii.2) Pela expressão (III), temos que:
c = - 5a ---- substituindo-se "a" por "-1/3", teremos c = -5(-1/3) c = 5/3 <--- Este é o valor do termo "c" da função f(x) = ax² + bx + c.
iv) Dessa forma, a função f(x) = ax² + bx + c será esta, após substituirmos "a" por "-1/3"; "b" por "4/3" e "c" por "5/3":
f(x) = (-1/3)*x² + (4/3)*x + 5/3 --- ou, o que é a mesma coisa:
f(x) = - x²/3 + 4x/3 + 5/3 <--- Pronto. Esta é a resposta. Esta é a equação procurada.
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Vamos lá.Veja, Patrícia, que: conforme a "foto" anexada, temos uma equação do 2º grau da forma f(x) = ax² + bx + c, com um valor máximo da função no ponto (2; 3), ou seja, o ponto que dá as coordenadas do vértice (xv; yv) é o ponto (2; 3).
Tem-se também que uma das raízes da equação é "-1" (ou seja, é x' = - 1). A outra raiz não foi dada.
Mas com essas informações dará pra encontrar qual é a equação que tem o gráfico representado na "foto" anexada.
Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Se uma raiz da equação dada é igual a "-1", então quando substituirmos o "x" ~por "-1" na função dada [f(x) = ax² + bx + c] deveremos igualar f(x) a zero, pois toda raiz zera a função da qual ela é raiz.
Assim, teremos:
a*(-1)² + b*(-1) + c = 0 ----- como (-1)² = 1, teremos:
a*(1) + b*(-1) + c = 0 ---- desenvolvendo, ficaremos com:
a - b + c = 0 ----- isolando "a", teremos:
a = b - c . (I)
ii) Como o vértice é o ponto de máximo (2; 3), então vamos ver qual é a fórmula que dá tanto o "x" do vértice (xv) como o "y" do vértice (yv).
Assim teremos:
ii.1)
xv = -b/2a ------ como o "x" do vértice é igual a "2", teremos:
2 = -b/2a ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
2a*2 = -b
4a = - b ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
- 4a = b ---- vamos apenas inverter, ficando:
b = - 4a . (II)
Mas veja que, conforme a expressão (I), temos que:
a = b - c ----- substituindo-se "b" por "-4a", conforme vimos na expressão (II) acima, teremos:
a = -4a - c ---- passando "-4a" para o 1º membro, teremos:
a + 4a = - c
5a = - c ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
- 5a = c ---- vamos apenas inverter, ficando:
c = - 5a . (III)
ii.2) Agora vamos para o "y" do vértice (yv), cuja fórmula é esta:
yv = - (b² - 4ac)/4a ---- substituindo-se "yv" por "3, teremos:
3 = - (b² - 4ac)/4a ------ multiplicando-se em cruz, teremos:
4a*3 = - (b² - 4ac)
12a = - (b² - 4ac) ---- vamos apenas inverter, ficando:
- (b² - 4ac) = 12a ------ mas "b" = - 4a e c = - 5a, conforme vimos nas expressões (II) e (III), respectivamente. Então vamos substituir "b" e "c" por esses valores,com o que ficaremos assim:
- ((-4a)² - 4a*(-5a)) = 12a
- (16a² + 20a²) = 12a
- (36a²) = 12a ---- retirando-se os parênteses, teremos:
- 36a² = 12a ----- se dividirmos ambos os membros por "12a" ficaremos apenas com:
- 3a = 1 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
3a = - 1
a = - 1/3 <---- Este será o valor do termo "a" da função f(x) = ax² + bx + c.
iii) Agora vamos para as expressões (II) e (III) e, nelas, vamos substituir "a' por "-1/3" para encontrarmos os valores dos termos "b" e "c". Assim teremos:
iii.1) Pela expressão (II), temos que:
b = - 4a ----- substituindo-se "a" por "-1/3", teremos:
b = -4*(-1/3)
b = 4/3 <--- Este é o valor do termo "b" da função f(x) = ax² + bx + c
iii.2) Pela expressão (III), temos que:
c = - 5a ---- substituindo-se "a" por "-1/3", teremos
c = -5(-1/3)
c = 5/3 <--- Este é o valor do termo "c" da função f(x) = ax² + bx + c.
iv) Dessa forma, a função f(x) = ax² + bx + c será esta, após substituirmos "a" por "-1/3"; "b" por "4/3" e "c" por "5/3":
f(x) = (-1/3)*x² + (4/3)*x + 5/3 --- ou, o que é a mesma coisa:
f(x) = - x²/3 + 4x/3 + 5/3 <--- Pronto. Esta é a resposta. Esta é a equação procurada.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.