Bonjour,

Ex 3)   f(x) = mx² - (m+1)x - 1

1) fonction affine donc de forme ax + b  pour m = 0

2) fonction paire donc f(x) = f(-x)

mx²-(m+1)x-1 = m(-x)²-(m+1)(-x)-1

mx² - mx - x - 1 = mx² + mx + x - 1

-2mx - 2x = 0

-2(m + 1)x = 0     ⇒  m = -1

3) la fonction admet un minimum donc  

(-b/2a) < 0   ⇔  (m+1)/2m < 0  ⇔  m < 1

4)  on prend m = 2  et m = 3 on obtient

2x²-3x-1 = 3x²-4x-1

-x²+x = 0

x(1 - x) = 0     deux solutions soit x = 0  soit x = 1

alors f(0) = -1    et f(1) = -2      les deux points où toutes les fonctions passeront auront pour coordonnées (0 ; -1) et (1 ; -2)

5)

f(x) admet une seule solution pour

Δ = b² - 4ac  = (m+1)² - 4(m)(-1) = 0 qui revient à

m² + 1 + 2m + 4m = 0

m² + 6m + 1 = 0   Δ = 32   deux solutions soit m' = -3-2√2 ≈ -5.83

                                                                    soit m" = -3+2√2 ≈ -0.17

6) f(x) n'admet pas de solution si

Δ < 0   ⇔ b² - 4ac = (m+1)² - 4(m)(-1) < 0 qui revient à

m² + 1 + 2m + 4m < 0

m² + 6m + 1 < 0    donc entre les racines trouvées au-dessus

soit pour m ∈ ] -3-2√2 ; -3+2√2 [    valeurs exclues car Δ strictement négatif

Bonne journée