Resposta:

.     AC   =   100.√3 m        (distância percorrida pelo barco)

      (alternativa:   d)

Explicação passo a passo:

.      Veja que  o  triângulo ABC é retângulo  em  B  e  o  ângulo A interno

        de ABC  mede  30°   (90°  -  60°).  Para  calcular a distância  AC per-

        corrida pelo barco,  vamos inicialmente encontrar a distância BC.

.        Tangente 30°   =   BC / AB

          √3 / 3   =   BC / 150 m

            3 . BC   =   150 . √3 m               (divide   por  3)

              BC   =   50.√3 m

.         AGORA:   usando o teorema de Pitágoras ,  vamos  calcular AC

.             AC²   =   AB²  +  BC²

             AC²   =  (150 m)²  +  (50.√3 m)²

             AC²   =   22.500 m²  +  2500 . 3 m²

             AC²   =   22.500 m²  +  7.500 m²

              AC²   =  30.000  m²

              AC   =   √(30.000 m²)

                       =   √(10.000  .  3)  m

                       =   100.√3 m

               OUTRO MODO   (bem  mais simples  e  rápido):

.              Cosseno 30°   =   cateto adjacente / hipotenusa

                  √3 / 2   =   AB  /  AC

                   √3 / 2   =   150 m / AC

                    AC  .  √3   =   2  .  150 m

                    AC  .  √3   =   300 m

                    AC   =   300 m / √3             (racionalizando)

                    AC   =   300 . √3 m / 3                  (simplificando  por  3)

                    AC   =   100.√3 m

(Bom aprendizado)

NOTA:    a questão foi resolvida de duas maneiras diferentes  e  cada

                passo devidamente esclarecido.  Basta que o usuário obser-

 ve atentamente a figura  e  acompanhe o desenvolvimento das reso-

  luções.

.    

Verified answer

Com base nas relações trigonométricas de um triângulo retângulo, concluímos que a percorrida pelo barco é de 100√3 metros.

Alternativa d)

Como a figura demonstra um triângulo retângulo, vamos utilizar as relações trigonométricas para esse tipo de triângulo.

[tex]\large \text {$ sen~x = \dfrac{Cateto~oposto ~\grave a ~x}{Hipotenusa} $}[/tex]

Hipotenusa = Maior lado do triângulo retângulo

Perceba que o ângulo de 60° está FORA do nosso triângulo, porém sabemos que, o ângulo de vértice em C, também mede 60°, pois são alternos internos, ou ainda, porque a soma dos ângulos internos do triângulo = 180°

Veja a figura anexa

Sabemos que, conforme a tabela dos ângulos Notáveis:

[tex]\large \text {$ sen~60^o = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $}[/tex]

Verificamos que a Hipotenusa equivale à AC, que é exatamente a distância que queremos saber.

E então teremos:

Cateto Oposto ao ângulo de 60° = AB = 150 m

[tex]\large \text {$ sen~60^o = \dfrac{Cateto~oposto ~\grave a ~60^o}{AC} $}[/tex]

Substituindo:

     [tex]\large \text {$ \dfrac{\sqrt{3} }{2} = \dfrac{150}{AC} $}[/tex]

Agora é só passar os divisores, multiplicando:

[tex]\large \text {$ \sqrt{3 } \cdot AC = 2 \cdot 150 $}[/tex]

[tex]\large \text {$ \sqrt{3 } \cdot AC = 300 $}[/tex]

[tex]\large \text {$ AC = \dfrac{300}{\sqrt{3} } $}[/tex]

Como não devemos deixar uma raiz no denominador, vamos multiplicar por √3, o numerador e o denominador, pois, dessa maneira, o resultado da fração não se altera.

[tex]\large \text {$ AC = \dfrac{300}{\sqrt{3} } ~\dfrac{\cdot \sqrt{3} }{\cdot \sqrt{3} } $}[/tex]

[tex]\large \text {$ AC = \dfrac{300\sqrt{3} }{(\sqrt[\backslash\!\!\!2]{3})^{\backslash\!\!\!2} } $}[/tex]

[tex]\large \text {$ AC = \dfrac{3\backslash\!\!\!00\sqrt{3} }{\backslash\!\!\!3 } $}[/tex]

[tex]\large \text {$ \boxed{AC = 100\sqrt{3} } \implies Alternativa ~d) $}[/tex]

Lembrando sobre o quadrado da raiz quadrada:
Toda Raiz quadrada elevado ao quadrado, resulta no próprio numero dentro da raiz. Uma raiz quadrada pode ser escrita como  [tex]\large \text {$ \sqrt{x}~ ou~ \sqrt[2]{x} $}[/tex] que é a mesma coisa.

Então vamos à outros exemplos:

[tex]\large \text {$\sqrt[2]{4} \cdot \sqrt[2]{4} = 2 \cdot 2 = 4 $}[/tex]

[tex]\large \text {$\sqrt[2]{25} \cdot \sqrt[2]{25} = 5 \cdot 5 = 25 $}[/tex]

[tex]\large \text {$\sqrt[2]{9} \cdot \sqrt[2]{9} = 3\cdot 3 = 9 $}[/tex]

Portanto, não é preciso fazer mais contas
[tex]\large \text {$\sqrt[2]{4} \cdot \sqrt[2]{4} = 4 $}[/tex]

[tex]\large \text {$\sqrt[2]{25} \cdot \sqrt[2]{25} = 25 $}[/tex]

E logicamente:

[tex]\large \text {$\sqrt[2]{3} \cdot \sqrt[2]{3} = 3 $}[/tex]

Assim como para qualquer raiz não exata, também vale o cálculo:

[tex]\large \text {$\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 7 $}[/tex]

[tex]\large \text {$\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5 $}[/tex]

[tex]\large \text {$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 $}[/tex]

Estude mais sobre as relações trigonométricas:

→ https://brainly.com.br/tarefa/55706444

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