Réponse:

La tangente a Cf au point d'abscisse -1 a pour coefficient directeur f'(-1)

Graphiquement,on détermine l'equation de la tangente :

y = x+1

On a donc f'(-1)=1

Dérivons f pour obtenir l'expression de f'(x)

f'(x) = -4x³+2×2x+1

f'(x) = -4x³+4x+1

Cherchons les valeurs de x pour lesquelles f'(x)=1

f'(x)=1 <=>

-4x³+4x+1 = 1 <=>

-4x³+4x = 0 <=>

4x(-x²+1) = 0 <=>

4x(1²-x²) = 0 <=>

4x(1-x)(1+x) = 0 <=>

4x = 0 ou 1-x=0 ou 1+x = 0

x=0 ou x = 1 ou x = -1

La courbe représentive de f admet donc une tangente de coefficient directeur -1 aux points d'abscisse x=0, x=-1 et x =1.

Vérifions lequel de ces point appartient à la tangente d'equation y=x+1 et à la courbe.

f(0)=0 et pour x=0, y=0+1 = 1

f(0)≠1

donc la droite d'équation y=x+1 n'est pas tangente à Cf en x=0

f(1) = -1⁴+2×1²+1 = 2

et pour x= 1, y = 1+1 = 2

Le point de coordonnées (1;2) vérifie l'equation de la droite et la fonction.

La droite d'equation y=x+1 est egalement tangente à Cf au point d'abscisse 1