Réponse :

Explications étape par étape :

■ tableau pour mieux comprendre :

mois --> J F M A M Juin 2o19

rang --> 0 1 2 3 4 5

Un --> 280 294 307 318 328 337 autos

■ détail du calcul pour le mois de Mars :

( 294x0,9 ) + 42 = 264,6 + 42 ≈ 307 autos

■ démonstration par récurrence :

Un+1 = 0,9 Un + 42

= 0,9 (420 - 140x0,9puiss(n)) + 42

= 378 - 140x0,9puiss(n+1) + 42

= 420 - 140x0,9puiss(n+1)

donc on a bien :

Un = 420 - 140x0,9puiss(n)

■ on doit résoudre :

Un > 400

c' est à dire : 420 - 140x0,9puiss(n) > 400

420 - 400 > 140x0,9puiss(n)

20 > 140x0,9puiss(n)

(20/140) > 0,9puiss(n)

(1/7) > 0,9puiss(n)

n > log(1/7) / log0,9

n > -0,845 / -0,0457575

n > 18,5

conclusion : on retient n = 19, soit le mois d' août 2o2o .

■ vérif : U19 = 420 - 140x0,9puiss(19) = 420 - 19 = 401 autos !