Réponse :

f(x) = x³ - 12 x + 16

1) étudier le sens de variation de f sur R

calculons la dérivée de la fonction f

f '(x) = 3 x² - 12 ⇒ f '(x) = 0 = 3 x²- 12 ⇔ x² = 4 ⇒ x = - 2 ; x = 2

signe de f '(x)

x        - ∞                 - 2                  2                     + ∞

f '(x)                +                  -                       +

f '(x) ≥ 0 sur l'intervalle ]- ∞ ; - 2] et [2 ; + ∞[ ⇒ f (x) est croissante sur les intervalles ]- ∞ ; - 2] et [2 ; + ∞[

f '(x) ≤ 0  sur l'intervalle [- 2 ; 2] ⇒ f (x) est décroissante sur [- 2 ; 2]

2) pour quelles valeurs de x a - t- on  x³ > 12 x - 16

 x³ > 12 x - 16 ⇔ x³ - 12 x + 16 > 0

pour x = 2  ⇒ f(2) = 8 - 24 + 16 = 0

(x - 2)(a x²+ bx + c) = a x³ + b x² + c x - 2a x² - 2b x - 2 c

                             = a x³ + (b - 2 a) x² + (c - 2b) x - 2 c

puisque x² = 0  ⇔ a x³ + (c-2b) x - 2 c

a = 1

c - 2b = - 12 ⇒ 2b = - 8 + 12 = 4 ⇒ b = 2

- 2 c = 16 ⇒ c = - 8

f(x) = (x-2)(x² + 2 x - 8) > 0

Δ = 4 + 32 = 36 ⇒√36 = 6

x1 = - 2+6)/2 = 2

x2 = - 2-6)/2 = - 4

pour    x > - 4  et  x > 2

Explications étape par étape