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Réponse :

f(x) = 8 x - 3 x²)/(x²- x + 1)

1) a) justifier que f est définie sur R

x² - x + 1 ≠ 0

Δ = 1 - 4 = - 3 ⇒ Δ < 0  donc pas de racine

puisque a > ⇒ x²- x + 1 > 0  pour tout x de R

Donc f est définie sur R

b) montrer que pour tout x; f(x) = - 5 x² - 6 x + 8)/(x² - x + 8)²

f(x) = (8 x - 3 x²)/(x² - x + 8)

soit  u = 8 x - 3 x² ⇒ u ' = 8 - 6 x

       v = x² - x + 8 ⇒ v ' = 2 x - 1

(u/v) ' = (u 'v - u v ')/v² = [(8 - 6 x)(x²- x +1) - (8 x - 3 x²)(2 x - 1)]/(x²-x+1)²

[8 x² - 8 x + 8 - 6 x³ + 6 x² - 6 x  - (16 x² - 8 x - 6 x³ + 3 x²)]/(x²-x+1)²

-6 x³ + 14 x² - 14 x + 8 - 16 x² + 8 x + 6 x³ - 3 x²)/(x²-x+1)²

f '(x) = (- 5 x²- 6 x + 8)/(x² - x+1)²

2) a) étudier le signe de f '(x)

or (x² - x + 1)² > 0

le signe de f '(x) dépend du signe de  - 5 x² - 6 x + 8

- 5 x² - 6 x + 8 = 0

Δ = 36 + 160 = 196 ⇒√196 = 14

x1 = 6 + 14)/-10 = - 2

x2 = 6 - 14)/- 10 = - 8/-10 = 4/5

x      - ∞                   - 2                     4/5                      + ∞

f(x)                -           0          +            0            -

f '(x) ≥ 0 entre [- 2 ; 4/5]

f '(x) ≤ 0 entre ]-∞ ; - 2] et [4/5 : + ∞[  

b) donner le tableau de variation de f

x      - ∞                        - 2                          0.8                   + ∞

f(x)   - 3 →→→→→→→→→→ - 4→→→→→→→→→→   5.6 →→→→→→→→ - 3

              décroissante           croissante        décroissante    

3) déterminer une équation de la tangente au point d'abscisse 5

l'équation de la tangente est : y = f(5) + f ' (5)(x - 5)

f '(5) = (- 5*5² - 6*5 +8)/(5² - 5 + 1)²          

       = - 125 - 30 + 8)/(25 - 5 + 1)²

       = - 147/21² ≈ - 0.33

f (5) = 8*5 - 3*5²)/21 ≈ - 1.66

y = - 1.66 - 0.33 x + 1.65

  = - 0.33 x - 0.01

Explications étape par étape

Calcul des limites en - ∞ et + ∞ de la fonction f(x) = 8 x - 3 x²)/(x² - x + 1)

lim f(x) = lim x²(8/x - 3)/x²(1 - 1/x + 1/x²) = - 3

x→+ et -∞       x→+ et -∞