C’est ma dernière chance, Bonjour, est-ce que quelqu’un pourrait m’aider à faire cet exercice de mat.... Pergunta de ideia dexkvufkekguh

January 2021 1 57 Report

C’est ma dernière chance, Bonjour, est-ce que quelqu’un pourrait m’aider à faire cet exercice de mathématiques sur les applications de la dérivation. Merci par avance.

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godetcyril

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Réponse : Bonjour,

1) D'après le tableau de variations, le minimum de $f$ sur $]-\frac{1}{2};+\infty[$ est atteint en $x=2$ et vaut 6.

Comme il y a un minimum en $x=2$ , la tangente y est horizontale au point d'abscisse 2, et on en déduit que $f'(2)=0$ .

2) D'après la question précédente, et le tableau de variations, on a:

$f'(x)=a+25(-\frac{2}{(2x+1)^{2}})=a-\frac{50}{(2x+1)^{2}}\\f'(2)=0 \Leftrightarrow a-\frac{50}{(2 \times 2+1)^{2}}=0 \Leftrightarrow a-\frac{50}{5^{2}}=0 \Leftrightarrow a-2=0 \Leftrightarrow a=2\\f(2)=6 \Leftrightarrow a \times 2+b+\frac{25}{2\times 2+1}=6 \Leftrightarrow 2a+b+5=6 \Leftrightarrow 2 \times 2+b+5=6 \Leftrightarrow b=6-5-4=-3$ .

Donc $f(x)=2x-3+\frac{25}{2x+1}$ .

3) On calcule la fonction dérivée $f'$ :

$f'(x)=2+25(-\frac{2}{(2x+1)^{2}}) =2-\frac{50}{(2x+1)^{2}}=\frac{2(2x+1)^{2}-50}{(2x+1)^{2}}$ .

Comme le dénominateur est positif pour tout $x \in ]-\frac{1}{2};+\infty[$ , puisque c'est un carré, $f'(x)$ est du signe de $2(2x+1)^{2}-50$ .

On calcule les racines de ce trinôme du second degré:

$2(2x+1)^{2}-50=0\\(2x+1)^{2}=25\\2x+1=-5 \quad ou \quad 2x+1=5\\2x=-6 \quad ou \quad 2x=4\\x=-3 \quad ou \quad x=2$ .

D'après les règles sur le signe d'un trinôme du second degré, $2(2x+1)^{2}-50$ est du signe du coefficient devant $x^{2}$ qui est en commençant à développer l'expression, ce coefficient est égal à 8, donc positif, et donc $2(2x+1)^{2}-50\geq 0$ sur $[2;+\infty[$ , et $2(2x+1)^{2}-50 \leq 0$ sur $]-\frac{1}{2};2]$ .