exercice 2

1)

ABC est rectangle en A

on utilise le théorème de Pythagore :

BC² = AB² + BC²

      = (2√5 - 1)² + (2√5 + 1)²

      = 20 - 4√5 + 1 + 20 + 4√5 + 1 = 42

BC = √42 (cm)

2)

périmètre :

P = (2√5 - 1) + (2√5 + 1) + √42 = 4√5 + √42 (cm)

3)

aire :

A = 1/2  (2√5 - 1) (2√5 + 1) = 1/2 (20 - 1) = 19/2 = 9,5 (cm²)

exercice 3

C = √(7 - 4√3)    D = √(7 + 4√3)

1)

x² = (C + D)² = [√(7 - 4√3) + √(7 + 4√3)]²

                    = (7 - 4√3) + 2[(√(7 - 4√3)√(7 + 4√3)] + (7 + 4√3)

      calcul du terme du milieu

   2[(√(7 - 4√3)√(7 + 4√3)]  = 2 √[(7 - 4√3)(7 + 4√3)] = 2√(49 - 48) = 2    

  x² =  (7 - 4√3) + 2 +  (7 + 4√3) = 16

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 y² = [√(7 + 4√3) - √(7 - 4√3)]²

     = (7 + 4√3) - 2[(√(7 - 4√3)√(7 + 4√3)] + (7 - 4√3)

     =  (7 + 4√3) - 2 + (7 - 4√3)

    = 12

2) x² = 16   d'où x = 4

  y² = 12    d'où y = 2√3

3)

on a posé au début   x = C + D   et  y = D - C

x + y = C + D + D - C

x + y = 2D

D = 1/2(x + y)

en utilisant les résultats  x = 4 et y = 2√3

on trouve

D = 1/2(4 + 2√3) = 2 + √3

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au début D = √(7 + 4√3)

on vérifie (ainsi on est sûr de ne pas avoir fait une erreur de calcul)

que 7 + 4√3 est bien le carré de 2 + √3. C'est bon.

D = √(7 + 4√3) = √(2 + √3)² = 2 + √3