Bonjour ,

1)

a)

Une valeur qui augmente de 12% est multipliée par (1+12/100)=1.12.

Donc on a , d'une année sur l'autre :

U(n+1)=U(n) x 1.12 - 210

b)

U(0)=2000

U(1)=2000 x 1.12 -210=2030

U(2)=2030 x 1.12-210=2063

U(3)=2063 x 1.12-210=2100

Etc.

c)

Conjecture : suite croissante.

2)

a)

V(n)=U(n)-1750

V(n+1)=U(n+1)-1750 mais : U(n+1)=U(n) x 1.12 - 210

Donc :

V(n+1)=U(n) x 1.12-210-1750

V(n+1)=N(n) x 1.12 -1960

On met 1.12 en facteur :

V(n+1)=1.12[U(n)-1750] car 1.12 x 1750=1960

Mais : U(n)-1750=V(n) . Donc :

V(n+1)=V(n) x 1.12

Ce qui prouve que la suite V(n) est une suite géométrique de raison q=1.12 et de 1er terme V(0)=U(0)-1750=2000-1750=250.

On sait alors que :

V(n)=V(0) x q^n soit ici :

V(n)=250 x 1.12^n

b)

U(n)=V(n)+1750.

Donc :

U(n)=250 x 1.12^n+1750

3)

U(n+1)-U(n)=250 x 1.12^(n+1)+1750-(250 x 1.12^n+1750)

U(n+1)-U(n)=250 x 1.12^n x 1.12 -250 x 1.12^n

On met : 250 x 1.12^n en facteur :

U(n+1)-U(n)=1.12^n (1.12-1)

U(n+1)-U(n)=0.12 x 1.12^n qui est > 0 car produit de 2 nbs > 0.

Donc :

U(n+1)-U(n) > 0

U(n+1) > U(n) : suit croissante.

4)

Quand n tend vers +∞ :

lim 1.12^n=+∞  car 1.12 > 1.

lim U(n)=+∞

5)

Programme Python :

u=2000

n=2023

while u<20000:

  u=u*1.12-210

  n=n+1

print("Le nb dépassera 20000 en : ",n)

Python donne 2061.