Réponse :

h(x) = 2 x² - 4 x - 6

1) quelle est la nature de la fonction h

    c'est une fonction de la forme h(x) = a x² + b x + c   polynôme du second degré

2) a) vérifier que pour tout x, h(x) = 2(x-1)² - 8

   α = - b/2a = 4/4 = 1

   β = h(α) = h(1) = 2 - 4 - 6 = - 8

   a = 2

   h(x) = a(x -α)² + β ⇒ h (x) = 2(x -1)² - 8

cette forme s'appelle : la forme canonique de la fonction h

  b) en déduire le tableau de variation de h

       x      - ∞                       1                       + ∞

       h(x)  + ∞ →→→→→→→→→ 8→→→→→→→→→→ + ∞

                       décroissante      croissante

3) a) vérifier que pour tout x,  h(x) = 2(x-3)(x + 1)  comment s'appelle cette forme

    h(x) = 2(x - 1)² - 8  ⇔ h(x) = 2((x- 1)² - 4) ⇔ h(x) = 2((x-1)² - 2²)   identité remarquable a²-b² = (a-b)(a+b)

h(x) = 2(x- 1 - 2)(x-1+2) = 2(x-3)(x+1)

b) en déduire le signe de la fonction h en résolvant  h(x) ≥ 0

   h (x) = 2(x-3)(x+1) ≥ 0

Tableau de signe

x        - ∞                      - 1                          3                      + ∞

x- 3                  -                              -          0           +

x+1                   -              0              +                       +

h(x)                 +              0              -          0            +

S =]- ∞ ; -1] ou [3 ; + ∞[  ⇒ h(x) ≥ 0

4) représenter la fonction h dans un repère orthonormé

la fonction h est une parabole tournée vers le haut

de sommet S(1 ; - 8)

coupe l'axe des abscisses  en x = - 1 et x = 3

coupe l'axe des ordonnées en y = - 6

vous pouvez tracer aisément la courbe de h

5) g(x) = h(x) + 9

a) déterminer la forme canonique de g(x)

    g(x) = h(x) + 9 = 2(x-1)² - 8 +9 = 2(x-1)² + 1

b) justifier que la courbe représentative de g ne coupe pas l'axe des abscisses

      g(x) = 2(x-1)² + 1 = 0 ⇒ (x- 1)² = - 1/2    un carré n'est jamais négatif

donc la courbe de g ne coupe pas l'axe des abscisses  

Explications étape par étape

h(x) = 2x² - 4x - 6

1) h(x) polynôme de degré 2

2

a) 2(x - 1)² - 8 = 2(x² - 2x + 1) - 8

                     = 2x² - 4x + 2 - 8

                     2x² - 4x - 6

d'où h(x) = 2(x - 1)² - 8

c'est la forme canonique de h(x)

b) h(x) = 2x² - 4x - 6    (1)

   h(x) = 2(x - 1)² - 8      (2)

forme (1) =>  la représentation graphique de la fonction h est une parabole

le coefficient de x² est positif, cette parabole est tournée vers le haut.

forme (2) :  2(x - 1)² - 8  

son sommet a pour coordonnées (1, -8)

tableau

x         -∞                     1                      +∞  

f(x)     +∞        ∖          -8          ⁄          +∞  

3)

a) 2(x - 3)(x + 1) = 2(x² + x - 3x - 3)

                        = 2(x² - 2x - 3)

                        = 2x² - 4x - 6

c'est la forme factorisée de h(x)

b)

on étudie le signe de (x - 3)( x + 1)

x         -∞          -1                 3                +∞  

x - 3             -             -         0        +

x + 1            -      0     +                    +

h(x)            +      0      -          0        +

h(x) < 0   pour  x ⋲ ]-1 ; 3[

h(x) ≥ 0 pour les autres valeurs

la parabole coupe l'axe des abscisses en (-1 ; 0) et (3 ; 0)

4)

5) g(x) = h(x + 9

   g(x) = 2x² - 4x -6 + 9

  g(x) = 2x² - 4x + 3

forme canonique

2x² - 4x + 3 = 2(x² - 2x + 3/2)

                    = 2[ (x² - 2x + 1) - 1 + 3/2]

                   = 2[(x - 1)² + 1/2]

                   = 2(x - 1)² + 1

cette parabole est tournée vers le haut,

Son sommet a pour coordonnées (1, 1). Tous les points de la parabole ont une ordonnée supérieure à celle du sommet donc supérieure à 1. cette courbe est en entier au-dessus de l'axe des abscisses.

remarque

c'est une translation de la première parabole de 9 unités vers le haut