J'ai vraiment pas le temps de tout faire, mais ça te donnera au moins des pistes

Le raisonnement par l'absurde consiste à émettre une hypothèse (qu'on conjecture comme fausse), et par succession d'implications en arriver à une proposition qui contredit l'hypothèse de départ, quelque chose "d'absurde".

1. Supposons que la somme d'un nombre rationnel α avec un nombre irrationnel β donne un nombre rationnel Δ. Soit α+β=Δ

avec α qui peut s'écrire avec p et q deux entiers et p/q fraction irréductible, et de même

on a donc :

Soit

On a donc

avec P = p'q-pq' et Q = qq' , deux entiers.

Donc β est rationnel. On obtient une contradiction avec l'hypothèse de départ. Donc la somme d'un rationnel avec un irrationnel est irrationnel.

Essaye de montrer la même chose pour le produit.

2. Suppons que la racine carré d'un irrationnel a positif est rationnel :

c'est-à-dire qu'il existe p et q entiers naturels tels que

alors : avec P = p² et Q=q²

donc a est rationnel. C'est absurde. Donc la racine d'un irrationnel est irrationnel.

5. On suppose que √2 est rationnel : on écrit √2 = p/q avec p et q deux entiers et p/q est une fraction IRREDUCTIBLE.

alors on a : 2 = p²/q² soit p² = 2q² donc p² est pair, d'où p est pair.

Donc p=2m avec m un entier naturel. On remplace p : 4m²=2q² ou encore 2m² = q² donc q² est pair, d'où q est pair.

Donc au final p et q sont pairs, donc p/q n'est pas une fraction irréductible (on peut simplifier par 2) donc on a une contradiction avec l'hypothèse de départ. Donc √2 est irrationnel.