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Bonjour,

1) La contraposée de "A ⇒ B" est "(non B) ⇒ (non A)"  (on note aussi : ¬B ⇒ ¬A)

Tableau de vérité de "A ⇒ B" :

(Pour raisonner tu peux imaginer par exp : A = il pleut et B = le sol est mouillé)

A   B     A⇒B

0   0        1            il ne pleut pas et  le sol n'est pas mouillé : vrai

0   1         1            il ne pleut pas et le sol est mouillé : vrai (car il peut être mouillé autrement que par la pluie...)

1    0        0          il pleut et le sol n'est pas mouillé : faux

1    1         1            il pleut et le sol est mouillé : vrai

Tableau de vérité de "(non B) ⇒ (non A)" :

(dans mon exp., non B = le sol n'est pas mouillé et non A = il ne pleut pas)

non B non A    (non B) ⇒ (non A)

 0         0                      1       sol mouillé et il pleut : vrai

 0         1                       1       sol mouillé et il ne pleut pas : vrai

 1          0                      0      sol non mouillé et pleut : faux

 1          1                       1       sol non mouillé et il ne pleut pas : vrai

On constate bien que les 2 tableaux sont identiques.

2) Pour tout n ∈ N / n ≥ 2 :

"Si n est impair, alors (n² - 1) est divisible par 8"

3) n impair ⇒ il existe p ∈ N tel que n = 2p + 1

Si p est pair, il existe k ∈ N tel que p = 2k, soit n = 4k + 1

Si p est impair, il existe k' ∈ N tel que p = 2k' + 1, soit n = 4k' + 2 + 1 = 4k' + 3

Donc le reste de tout entier n ≥ 2 et impair est 1 ou 3.

Soit n = 4k + r avec k ∈ N et r ∈ {1,3}

4) N impair ⇒ ili existe k ∈ N tel que n = 4k + r avec r ∈ {1,3}

⇒ (n² - 1) = (4k + r)² - 1

⇔ (n² - 1) = (4k + r - 1)(4k + r + 1)

Si r = 1 : (n² - 1) = (4k)(4k + 2) = 2(4k)(2k + 1) = 8k(2k + 1)  donc (n² - 1) div. par 8

Si r = 3 : (n² - 1) = (4k + 2)(4k + 4) = 2(2k + 1)4(k + 1) = 8(2k+ 1)(k + 1) donc div. par 8

5) oui car la contraposée de "(non Q) ⇒ (non P)" est "P ⇒ Q"