Bonjour je suis en 1ere et merci pour votre aide ( cela est pour lundi merci d'avance ).
Le plan est rapporté à un repère orthonormé R=(0;i;j)
Pour chaque nombre réel t, on considère le point Mt (-2 + 4t ; 1 + 3t)
3.1 Démontrer que lorsque t parcourt R, alors le point Mt parcourt une droite D dont on donnera une équation cartésienne.
3.2 On considère la fonction f : R → R⁺ , qui à chaque nombre réel t associe f(t)=║vecteur AMt║² , avec A(5 ;2).
Vérifier que pour tout t ∈ R, f(t)= 25t² - 62t + 50
3.3 Donner le tableau de variation de f
3.4 En déduire de la question précédente :
a. Les coordonnées exactes de l’unique point I ∈ D le plus proche du point A.
b. La distance entre le point A et la droite D.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé R=(0;i;j)
Pour chaque nombre réel t, on considère le point Mt (-2 + 4t ; 1 + 3t)
3.1 Démontrer que lorsque t parcourt R, alors le point Mt parcourt une droite D dont on donnera une équation cartésienne.
3.2 On considère la fonction f : R → R⁺ , qui à chaque nombre réel t associe f(t)=║vecteur AMt║² , avec A(5 ;2).
Vérifier que pour tout t ∈ R, f(t)= 25t² - 62t + 50
3.3 Donner le tableau de variation de f
3.4 En déduire de la question précédente :
a. Les coordonnées exactes de l’unique point I ∈ D le plus proche du point A.
b. La distance entre le point A et la droite D.
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Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
3-1)les coordonnées de M en fonction de t sont
x=-2+4t (1)
y=1+3t (2)
on élimine les t
3*(1) 3x=-6+12t
-4*(2) -4y=-4-12t
(1)+(2) 3x-4y=-10 soit 3x-4y+10=0 ceci est une des équations cartésiennes d'une droite (D)
3-2) II vecAMt II²=(xM-xA)²+(yM-yA)²=(2+4t-5)²+(1+3t-2)²=(-7+4t)²+(-1+3t)²
=49-56t+16t²+1-6t+9t²=25t²-62t+50
f(t)=25t²-62t+50 (donnée dans l'énoncé)
3-3) Dérivée f'(t)=50t-62 f'(t)=0 pour t=31/25
Tableau de signes de f'(t) et de variations de f(t)
t -oo 31/25 +oo
f'(t) - 0 +
f(t) +oo décroi f(31/25) croi +oo
3-4)
a) Coordonnées de I: on reprend les expressions en fonction de t xI=-2+4(31/25)=74/25 ; yI=1+3(31/25)=118/25)
I(74/25; 118/25)
distance AI (formule connue): AI= V[(xI-xA)²+(yI-yA)²]=..................je te laisse vérifier les calculs j'ai trouvé 3,4 ul.
Nota: pour vérifier, sur un repère orthonormé (1cm); choisis 2 valeurs de t pour obtenir deux points M et trace la droite (D) retrouve son équation réduite par lecture graphique; Place le point A trace la perpendiculaire à (D) passant par A , vérifie les coordonnées de I et la distance AI.