Bonjour ,

1)

f(x) est de la forme u/v avec :

u=x+3 donc u '=1

v=12-3x donc v'=-3

f '(x)=(12-3x+3(x+3))²/(12-3x)² car -(-3)=+3

f '(x)=(12-3x+3x+9)/(12-3x)²

f '(x)=21/(12-3x)²

f '(x) est donc tjrs > 0 sur son intervalle de définition.

Variation :

x------->-∞..............................4.............................+∞

f '(x)---->.........................+.......||............+...................

f(x)---->.................C................||...............C...............

C=flèche qui monte.

2)

a)

g(x)=x²+4x-12

g(x) est < 0 entre ses racines car  le coeff de x² est > 10.

Δ=4²-4(1)(12)=64

√64=8

x1=(-4-8)/2=-6

x2=(-4+8)/2=2

Signes :

x---------->-∞.......................-6...........................2........................+∞

g(x)------->.............+..............0........-.................0..................+..............

b)

f(x)=(x²-6x)/(x+2)

f(x) est de la forme u/v avec :

u=x²-6x donc u '=2x-6

v=x+2 donc v'=1

f '(x)=[(2x-6)(x+2)-(x²-6x)] / (x+2)²

f '(x)=(2x²-2x-12-x²+6x)/(x+2)²

f '(x)=(x²+4x-12)/ (x+2)²

f '(x) est donc du signe de g(x) vu en 2)a).

Variation :

x------>-2......................2..........................+∞

f '(x)--->.........-..............0................+..........

f(x)----->...........D...........-2...........C...........

D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.

3)

f(x)=(-x²+3)e^x

u=-x²+3 donc u'=-2x

v=e^x donc v'=e^x

f '(x)=-2x*e^x+e^x(-x²+3)

f '(x)=e^x(-x²-2x+3)

f '(x) est donc du signe de (-x²-2x+3) qui est > 0 entre ses racines car lle coef de x² est < 0.

Δ=(-2)²-4(-1)(3)=16

√16=4

x1=(2+4)/-2=-3

x2=(2-4)/-2=1

Variation :

x-------->-∞....................-3.....................1........................+∞

f '(x)---->.............-............0.........+.........0..........-..............

f(x)------>...........D..........≈-0.3.......C...≈5.4........D....

D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.