Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour,

Voici la réponse en pièce-jointe !

En espérant t'avoir aidé, n'hésite pas à poser des questions si besoin.

Réponse :

1) ABC triangle rectangle en B ⇒ th.Pythagore

on a;  AC² = AB² + BC² = 8² + 6² = 100 ⇒ AC = √100 = 10 cm

2) exprimer chacun des vecteurs AC et AI en fonction des vecteurs

AB et AD  et en déduire  que  vec(AC).vec(AI) = 68

vec(AC) = vec(AB) + vec(BC)     relation de Chasles

ABCD est un rectangle donc vec(BC) = vec(AD)

donc  vec(AC) = vec(AB) + vec(AD)

vec(AI) = vec(AC) + vec(CI)     relation de Chasles

            = vec(AB) + vec(AD) + 1/2vec(CD)     or  vec(CD) = - vec(DC)

            =  vec(AB) + vec(AD) - 1/2vec(DC)     or  vec(DC) = vec(AB)

            =  vec(AB) + vec(AD) - 1/2vec(AB)          

            = 1/2vec(AB) + vec(AD)

donc  vec(AI) =  1/2vec(AB) + vec(AD)

en déduire que vec(AC).vec(AI) = 68

vec(AC).vec(AI) = (vec(AB) + vec(AD))(1/2vec(AB) + vec(AD))

       = 1/2) AB² + vec(AB).vec(AD) + 1/2(vec(AD).vec(AB)) + AD²  

       = 1/2) AB²  +              0            +                  0                + AD²

       = 1/2) * 8²  + 6²

       = 68

3) calculer la longueur AH

H est le projeté orthogonal de I  sur  (AC)

donc  vec(AC).vec(AI) = vec(AC).vec(AH) = AC x AH

les vecteurs AC  et AH  sont colinéaires  de même sens

donc   AC x AH = 68   ⇒ AH = 68/AC  = 68/10 = 6.8 cm                

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