Bonjour, Soit (Un) la suite définie par Uo = 1 et, pour tout n appartenant à N, Un+1 = ln (1+Un) 1. .... Pergunta de ideia dematheo5017

April 2022 1 67 Report

Bonjour,
Soit (Un) la suite définie par Uo = 1 et, pour tout n appartenant à N, Un+1 = ln (1+Un)

1. Démontrer que (Un) est décroissante et minorée.

2. En déduire que la suite (Un) est convergente.

3. Déterminer sa limite. On pourra étudier le sens de variation de la fonction H définie sur [0;+inf[ par H(x) = x - ln (x+1)

Merci d’avance

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croisierfamily Réponse :Explications étape par étape :■ Uo = 1 ; U1 = Ln2 = 0,7 ; U2 = Ln1,7 = 0,53 ; U3 = Ln1,53 = 0,425 ; U4 = Ln1,425 = 0,354 ; ... ■ Un+2 - Un+1 = Ln(1 + Un+1) - Ln(1 + Un) = Ln[ (1 + Ln(1+Un))/(1+Un) ] majorons Un par 1 : Un+2 - Un+1 = Ln[ (1 + Ln2)/2 ] = Ln[ 1,7/2 ] = Ln0,85 = -0,16 négatif donc la suite est bien décroissante ! Ln(1 + positif) > 0 on peut minorer cette suite par 0 .■ une telle suite décroissante et minorée est convergente .■ recherche de sa Limite : L = Ln(1+L) e^L = 1 + L L = 0 . Lim H(x) pour x tendant vers zéro : = 0 . tableau : x --> 0 1 2 3 10 100 +∞H(x) --> 0 0,3 0,9 1,6 7,6 95 +∞

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matheo5017 Wow merci beaucoup !

matheo5017 Que signifie le L dans la recherche de limite ?