Réponse :

Bonsoir

f(x) = x³/3  - x² - 3x + 1

f est définie sur IR

f est dérivable sur IR

donc f'(x) = 3x²/3 - 2x - 3

donc f'(x) = x² - 2x - 3

f'(x) s'annule ( f'(x) = 0 )si x² - 2x - 3 = 0

calcul du discriminant

Δ = b² - 4 ac avec a = 1, b = - 2 et c = - 3

Δ = (-2)² - 4(1)(-3)

Δ = 4 + 12

Δ = 16 = 4² >0 donc √Δ = √4² = 4

donc f'(x) = 0 admet deux solutions

x₁= ( - b - √Δ)/ 2a  et x₂ = ( - b + √Δ)/ 2a  

avec a = 1 , √Δ = 4 et b = - 2

x₁ = ( - ( - 2) - 4) / 2(1) et x₂ = ( - ( - 2) + 4) / 2(1)

x₁ = ( 2 - 4)/2 et x₂ = (2 + 4)/2

x₁ = (-2)/2 et x₂ = 6/2

x₁ = - 1 et x₂ = 3

donc f'(x) peut s'écrire sous la forme a (x - x)₁ (x - x₂)

donc f'(x) = - 2 (x -( - 1) ) ( x - 3)

donc f'(x) = - 2 (x + 1)( x - 3)

tableau de variation de f

x                  - ∞                       - 1                          3                         +   ∞        

- 2 (x - 1)                     +               ⊕              -                        -                    

x + 3                          -                                 -          ⊕           +                  

signe de f'                  -                 ⊕             +           ⊕         -                    

f(x)                   décroissante                  croissante              décroissante

L'équation de la tangente en 0 est

y = f'(0)(x-0) + f(0).

f'(0) =  (0)² - 2x(0)- 3 = - 3

f(0) = (0)³/3  - (0)² - 3(0) + 1 = 1

L'équation de la tangente en 0 est

y =- 3x + 1