Bonjour

Initialisation :

n = 0 : t0 = 0

t0 = 1 - 3^0 = 1 - 1 = 0

Hérédité :

Soit n entier naturel, on suppose tn = 1 - 3^n

Alors tn+1 = 3tn - 2 = 3(1 - 3^n) - 2 = 3 - 3^(n+1) - 2 = 1 - 3^(n+1)

Conclusion :

D'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, tn = 1 - 3^n

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Réponse :

Bonjour

Soin P(n) la propriété : tₙ = 1 - 3ⁿ

Initialisation

t₀ = 0 et 1 - 3⁰ = 1 - 1 = 0

donc P(0) est vraie

Hérédité

Soit un certain entier n tel que tₙ = 1 - 3ⁿ . On cherchera alors à montrer que tₙ₊₁ = 1 - 3ⁿ⁺¹

On a tₙ₊₁ = 3tₙ - 2 (par définition de la suite (tₙ))

⇔ tₙ₊₁ = 3(1 - 3ⁿ) - 2 (par hypothèse de récurrence)

⇔ tₙ₊₁ = 3 - 3ⁿ⁺¹ - 2

⇔ tₙ₊₁ = 1 - 3ⁿ⁺¹

donc P(n + 1) est vraie, la propriété est héréditaire.

Conclusion

L'initialisation étant vérifiée, et l'hérédité étant démontrée, on peut conclure que la propriété P(n) est vraie pour tout n entier naturel.

Donc pour tout entier naturel n , on a tₙ = 1 - 3ⁿ