Bonjour,

Réponse :

[tex]\red{\Large{\boxed{\boxed{S = \varnothing}}}}[/tex]

Explications étape par étape :

On commence par déterminer le domaine de définition :

[tex]D=\{x \in \mathbb{R}/x+1\geqslant0\:\:{\sf et}\:\:x+2\geqslant0\:\:{\sf et}\:\:x+3\geqslant0\:\:{\sf et}\:\:x+4\geqslant0 \}[/tex]

[tex]D=\{x \in \mathbb{R}/x\geqslant-1\:\:{\sf et}\:\:x\geqslant-2\:\:{\sf et}\:\:x\geqslant-3\:\:{\sf et}\:\:x\geqslant-4 \}[/tex]

[tex]D=\{x \in \mathbb{R}/x\geqslant-1\}[/tex]

[tex]\boxed{D=[-1;+\infty[}[/tex]

[tex]\\[/tex]

[tex]x\geqslant - 1 \iff \begin{cases} x+1 \geqslant 0 \\x + 2\geqslant 1 \\ x + 3\geqslant 2\\ x + 4\geqslant 3 \end{cases} \iff \begin{cases} \sqrt{x+1} \geqslant 0 \\ \sqrt{x+2} \geqslant 1 \\ \sqrt{x+3} \geqslant \sqrt{2} \\ \sqrt{x+4} \geqslant \sqrt{3} \end{cases}[/tex]

[tex]\Longrightarrow \sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}+\sqrt{x+3}+\sqrt{x+4} \geqslant0+1+\sqrt{2}+\sqrt{3}[/tex]

[tex]\Longrightarrow \sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}+\sqrt{x+3}+\sqrt{x+4} \geqslant \sqrt{3}+\sqrt{2}+1[/tex]

[tex]{\sf On \:sait \:que : \:\:}\purple{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1 \approx4,146}[/tex]

[tex]{\sf Alors : \:\:} \orange{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1 > 4}[/tex]

[tex]{\sf D'o\grave{u} : \:\:} \green{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}+\sqrt{x+3}+\sqrt{x+4} > 4 }[/tex]

[tex]{\sf Et \:par \: cons\'{e}quence : \:\:}[/tex]

[tex]\red{\Large{\boxed{\boxed{S = \varnothing}}}}[/tex]