O cálculo de integral de linha (1 + xy).ds ao longo da curva C corresponde a 1/2.

Calculando a integral de linha

Ela pode ser calculada usando a parametrização dada:

• C: x(t) = cos(t), y(t) = sin(t), 0 ≤ t ≤ π

Portanto, temos que:

• x'(t) = -sin(t)
• y'(t) = cos(t)

Assim, a integral de linha pode ser escrita como:

• ∫C (1 + xy) ds = ∫π0 (1 + cos(t)sin(t)) √[(-sin(t))² + (cos(t))²] dt
• = ∫π0 (1 + cos(t)sin(t)) dt

Fazendo a substituição u = sin(t), temos:

• du/dt = cos(t), dt = du/cos(t)

E quando t = 0, u = 0 e quando t = π, u = 0 também. Portanto, temos:

• ∫π0 (1 + cos(t)sin(t)) dt = ∫10 (1 + u) du
• = u + 1/2 u² ∣₁⁰
• = 1/2

Veja mais sobre integral de linha em: https://brainly.com.br/tarefa/45257737

#SPJ1

Resposta:

Olá!

[tex]\int\limits_C {(1+xy)} \, ds[/tex]

A metade superior de uma circunferência é um arco no intervalo de 0 a π.

Tomando as equações paramétricas e suas derivadas:

x(t) = cos(t) ; x'(t) = -sen(t)

y(t) = sen(t) ; y'(t) = cos(t)

Logo:

[tex]\int\limits_C {(1+xy)} \, ds = \int\limits^\pi _0 {[cos(t).sen(t)].[\sqrt{[x'(t)]^2+y'(t)^2} }] \, dt[/tex]

Onde [tex]\ \sqrt{[x'(t)]^2+y'(t)^2} }\[/tex] é a norma. Calculando:

[tex]\ \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)^2]} }\ = \sqrt{[-cos(t)]^2+[sen(t)]^2} = \sqrt{cos^2(t)+sen^2(t)}= 1[/tex]

Observe que [tex]cos^2(t)+sen^2(t) = 1[/tex] . pela relação fundamental da trigonometria.

Ficamos então com:

[tex]\int\limits_C {(1+xy)} \, ds = \int\limits^\pi _0 {[cos(t).sen(t)].1 dt[/tex]

[tex]\int\limits_C {(1+xy)} \, ds = \int\limits^\pi _0 {1+[cos(t).sen(t)] dt[/tex]

Calculando a integral  [tex]\int\limits\ {1+[cos(t).sen(t)] dt[/tex] :

[tex]t+\int\limits\ {[cos(t).sen(t)] dt[/tex]

Fazendo a substituição de variáveis u = cos (t) e du = sen(t) dt:

[tex]t+\int\limits\ u \ du[/tex]

[tex]t+[u^2/2][/tex]

[tex]t+[cos^2(t)/2][/tex]

E obtemos então:

[tex]\int\limits_C {(1+xy)} \, ds = \int\limits^\pi _0 {1+[cos(t).sen(t)] dt = t+[cos^2(t)/2]\ |^\pi _0[/tex]

Aplicando o teorema fundamental do cálculo:

[tex]= [\pi +[cos^2(\pi )/2]] -[0+[cos^2(0)/2]][/tex]

[tex]= [\pi +[(-1)^2/2]] -[0+[cos^2(0)/2]][/tex]

[tex]= [\pi +[1/2]] -[[1/2]][/tex]

[tex]=\pi +[1/2] -[1/2][/tex]

[tex]=\pi[/tex]

Resposta: Letra B