PERGUNTA 4
Calcule o vetor gradiente da função f(x, y) = y. ln x, no ponto (1, -3) e assinale a alternativa
correta.
Dada a definição de vetor gradiente: Vƒ(x,y) = f(x,y) 7+ ºf (x,x)}
by
O a. Vetor gradiente = Vƒ (1₁-3) = 7-5
O b. Vetor gradiente = Vf (1.-3) = -37
OC. Vetor gradiente = Vƒ (1,-3) = 7 -
O d. Vetor gradiente = Vf (1.-3) = -5 j
O e. Vetor gradiente = Vƒ(1.-3)=-37-37
Calcule o vetor gradiente da função f(x, y) = y. ln x, no ponto (1, -3) e assinale a alternativa
correta.
Dada a definição de vetor gradiente: Vƒ(x,y) = f(x,y) 7+ ºf (x,x)}
by
O a. Vetor gradiente = Vƒ (1₁-3) = 7-5
O b. Vetor gradiente = Vf (1.-3) = -37
OC. Vetor gradiente = Vƒ (1,-3) = 7 -
O d. Vetor gradiente = Vf (1.-3) = -5 j
O e. Vetor gradiente = Vƒ(1.-3)=-37-37
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Resposta:
Olá!
O vetor gradiente de uma função f(x,y) é dado pelas derivadas parciais de x e y.
V f(x,y) = [df/dx , df/dy] = df/dx (x,y)i + df/dy (x,y)j
Obtenha as derivadas parciais df/dx e df/dy
df/dx = y . (1/x)
df/dx = y/x
df/dy = ln x (1)
df/dy = lnx
Logo o gradiente de f no ponto (1 , -3) é:
V f(1,-3) = [y/x , ln x] (1 , -3)
= y/x (1,-3)i + ln x (1,-3)j
= (-3/1) i + (ln 1)j
= -3i + 0j
= -3i
Letra B
✅ Tendo finalizado os cálculos, concluímos que o vetor gradiente da superfície "S = f(x, y) = y . ln x" aplicado ao ponto "P(1, -3)" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla}f(1, -3) = (-3,\,0)\end{gathered}$}[/tex]
Portanto, a opção correta é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Alternativa \:A\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Sejam os dados da questão:
[tex]\Large\begin{cases} S = f(x, y) = y\cdot \ln x\\P = (1, -3)\end{cases}[/tex]
Sabemos que o vetor gradiente de qualquer função "f" aplicado a um determinado ponto "P" é sempre igual ao vetor cujas componentes são iguais às derivadas parciais de primeira ordem da referida função no respectivo ponto e, para calcularmos, devemos fazer:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}\vec{\nabla}f(1, -3) & = \langle f_{x}(x, y),\,f_{y}(x, y)\rangle\\& = \frac{\partial f}{\partial x}\,{\bf i} + \frac{\partial f}{\partial y}\,{\bf j}\\& = \left(-3\cdot\frac{1}{1}\right)\,{\bf i} + (1\cdot \ln(1)){\bf j}\\& = -3\,{\bf i} + (1\cdot 0)\,{\bf j}\\& = -3\,{\bf i} + 0\,{\bf j}\\& = (-3, 0)\end{aligned} $}[/tex]
✅ Portanto, o vetor gradiente aplicado ao ponto "P" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla}f(1, -3) = (-3,\,0) = -3\,{\bf i}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]