Dadas as sentenças: “Para todo r irracional, r2 é irracional” e “Existem r e q irracionais tais que .... Pergunta de ideia deKaSweet

November 2019 1 59 Report

Dadas as sentenças: “Para todo r irracional, r2
é irracional” e “Existem r e q
irracionais tais que r.q é racional”. Classifique cada sentença em verdadeira ou falsa:
( ) Existe r irracional tal que r2
é racional e existem r e q irracionais tais que r.q é racional.
( ) Para todo r irracional, r2
é irracional ou existem r e q irracionais tais que r.q é racional.
( ) Se existem r e q irracionais tais que r.q é racional, então r2
é irracional para qualquer que seja r
irracional.
( ) Para todo r irracional, r2
é irracional se, para todos r e q irracionais r.q é racional.

Lista de comentários

Trel

Olá.

Para resolver essa questão, podemos mostrar um exemplo para tornar a sentença positiva, assim como devemos mostrar uma prova para que a sentença seja negativa.

Antes de começar, é bom conhecermos os conceitos dos conjuntos dos racionais e dos irracionais.

No conjunto dos números racionais ( $\mathbb{Q}$ ) existem todos os números reais que podem ser escritos em forma de fração. Dentro desse conjunto estão os números naturais, números inteiros, números decimais e as dízimas periódicas.

No conjunto dos números irracionais ( $\mathbb{I}$ ) existem todos os números reais que não podem ser escritos em forma de fração. Como exemplo de números pertencentes a esse conjunto, temos as raízes não exatas e pi.

Transcrevo as sentenças abaixo, justificando-as adequadamente.

( ) Existe r irracional tal que r² é racional e existem r e q irracionais tais que r * q é racional.

Verdadeiro.

Para a primeira proposição, vamos supor que r é a raiz quadrada de 2. Calculemos.

$\begin{array}{ccl}
\mathsf{r=\sqrt2}&\therefore&\mathsf{r^2=\left(\sqrt2\right)^2=2}\\\\
\mathsf{r\in\mathbb{I}}&\therefore&\mathsf{r^2\in\mathbb{Q}}
\end{array}$

Esse caso será verdadeiro para toda raiz com índice 2 e radicando com expoente igual a 1.

Para a segunda proposição, vamos supor que r é a raiz 2 e q é a raiz de 8. Calculemos.

$\mathsf{r=\sqrt2~~\therefore~~q=\sqrt8}\\\\
\mathsf{r\cdot q=\sqrt2\cdot\sqrt8=\sqrt{2\cdot8}=\sqrt{16}=4}\\\\
\mathsf{r\cdot q\in\mathbb{Q}}$

O mesmo aconteceria em outros casos, como:

$\mathsf{r=\sqrt2~~\therefore~~q=\sqrt2}\\\\\mathsf{r=\sqrt2~~\therefore~~q=\sqrt{32}}\\\\\mathsf{r=\sqrt3~~\therefore~~q=\sqrt{27}}$

$\textsf{--------------------------------------------------}$

( ) Para todo r irracional, r² é irracional ou existem r e q irracionais tais que r * q é racional.

Verdadeiro.

Como demonstrei acima, a primeira proposição (Para todo r irracional, r² é irracional) será verdadeira para toda raiz com índice 2 e radicando com expoente igual a 1.

A segunda proposição (existem r e q irracionais tais que r * q é racional) foi demonstrada acima como verdadeira.

As duas proposição não são dependentes, logo, se um for verdadeira, a sentença também será.

$\textsf{--------------------------------------------------}$

( ) Se existem r e q irracionais tais que r * q é racional, então r² é irracional para qualquer que seja r irracional.

Falso.

Foi demonstrado na primeira assertiva que ambas as proposições são possíveis, sem uma depender da outra.

$\textsf{--------------------------------------------------}$

( ) Para todo r irracional, r² é irracional se, para todos r e q irracionais r * q é racional.

Falso. Mesma “lógica” mostrada na primeira sentença. Para falsear essa sentença basta existir um exemplo que contradiz.

Veja:

$\mathsf{r=\sqrt3~~\therefore~~q=\sqrt{27}}\\\\ \mathsf{r\cdot q=\sqrt3\cdot\sqrt{27}=\sqrt{3\cdot27}=\sqrt{81}=9}\\\\ \mathsf{r^2=\left(\sqrt3\right)^2=3}$