Dado , CALCULE . Resposta do gabarito:.... Pergunta de ideia deAffonsoPaulinho

AffonsoPaulinho @AffonsoPaulinho

November 2019 1 60 Report

Dado $x^2+\dfrac{1}{x^2}=6$ , CALCULE $x+\dfrac{1}{x}$ .

Resposta do gabarito: $+-2\sqrt2$

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TesrX

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Olá.

Para resolver essa questão, o primeiro passo é isolar um valor para x na primeira equação.

Como no denominador há uma incógnita e precisamos fazer a soma, multiplico o x² por x² / x², para que sejam igualados os denominadores. Desenvolvendo, teremos:

$\mathsf{x^2+\dfrac{1}{x^2}=6}\\\\\\
\mathsf{\dfrac{x^2}{x^2}\cdot x^2+\dfrac{1}{x^2}=6}\\\\\\
\mathsf{\dfrac{x^4}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}=6}\\\\\\
\mathsf{\dfrac{x^4+1}{x^2}=6}\\\\\\ \mathsf{x^4+1=6\cdot x^2}\\\\
\mathsf{x^4+1=6x^2}\\\\ \mathsf{x^4-6x^2+1=0}$

Conseguimos uma equação biquadrada (com x⁴ e x²) como resultado. Para desenvolver essa equação, uso $\mathsf{y=x^2}$ . Teremos:

$\mathsf{x^4-6x^2+1=0}\\\\
\mathsf{\left(x^2\right)^2-6\left(x^2\right)+1=0}\\\\ \mathsf{y^2-6y+1=0}$

Agora, temos uma equação de segundo grau, logo, devemos tratar como tal. Vamos aos cálculos.

$\mathsf{y=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\\\\\
\mathsf{y=\dfrac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4(1)(1)}}{2(1)}}\\\\\\
\mathsf{y=\dfrac{6\pm\sqrt{36-4}}{2}}\\\\\\
\mathsf{y=\dfrac{6\pm\sqrt{32}}{2}}$

O 32 em sua forma fatorada é 2⁵. Substituindo na raiz, teremos:

$\mathsf{y=\dfrac{6\pm\sqrt{32}}{2}}\\\\\\
\mathsf{y=\dfrac{6\pm\sqrt{2^5}}{2}}\\\\\\
\mathsf{y=\dfrac{6\pm\sqrt{2^4\cdot2}}{2}}\\\\\\
\mathsf{y=\dfrac{6\pm2^2\sqrt{2}}{2}}\\\\\\
\mathsf{y=\dfrac{6\pm4\sqrt{2}}{2}}\\\\\\ \mathsf{y=3\pm2\sqrt{2}}\\\\\\
\therefore~\begin{cases} \mathsf{y=3+2\sqrt2}\\\\ \mathsf{y=3-2\sqrt2}
\end{cases}$

Mais acima usei $\mathsf{y=x^2}$ . Substituindo o valor de y nessa forma, teremos as raízes de x. Vamos aos cálculos.

$\mathsf{y=x^2}\\\\
\mathsf{x^2=y}\\\\ \mathsf{x=\pm\sqrt{y}}\\\\\\
\mathsf{x'=\pm\sqrt{3+2\sqrt2}}\\\\\mathsf{x''=\pm\sqrt{3-2\sqrt2}}$

Em ambos os casos de x, devemos usar produtos notáveis. Desenvolvendo, teremos:

$\mathsf{x'=\pm\sqrt{3+2\sqrt2}}\\\\\mathsf{x'=\pm\sqrt{1+2\sqrt2+2}}\\\\
\mathsf{x'=\pm\sqrt{\left(1+\sqrt2\right)^2}}\\\\
\mathsf{x'=\pm\left(1+\sqrt2\right)} \\\\\\
\mathsf{x''=\pm\sqrt{3-2\sqrt2}}\\\\\mathsf{x''=\pm\sqrt{1-2\sqrt2+2}}\\\\
\mathsf{x''=\pm\sqrt{\left(1-\sqrt2\right)^2}}\\\\
\mathsf{x''=\pm\left(1-\sqrt2\right)}$

Com isso, podemos definir todas as raízes possíveis para a equação biquadrática. Teremos:

$\begin{cases}
\mathsf{x'=}&\mathsf{\pm\left(1-\sqrt2\right)}\\
\mathsf{x''=}&\mathsf{\pm\left(1+\sqrt2\right)}
\end{cases}~\therefore~\begin{cases} \mathsf{x_1=}&\mathsf{-1+\sqrt2}\\
\mathsf{x_2=}&\mathsf{1-\sqrt2}\\ \mathsf{x_3=}&\mathsf{1+\sqrt2}\\
\mathsf{x_4=}&\mathsf{-1-\sqrt2} \end{cases}$

$\textsf{---------------------------------------------}$

Agora, podemos resolver a outra expressão, $\mathsf{x+\dfrac{1}{x}}$ .

Para desenvolver essa expressão, o primeiro passo que adotarei é montar apenas uma fração. Para isso, uso o mesmo modo que usei na primeira. Vamos aos cálculos.

$\mathsf{x+\dfrac{1}{x}=}\\\\\\
\mathsf{\dfrac{x}{x}\cdot x+\dfrac{1}{x}=}\\\\\\
\mathsf{\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{1}{x}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x^2+1}{x}}$

Agora, devemos substituir os valores de x pelos 4 que obtemos no início e desenvolver. No decorrer dos cálculos, produtos notáveis serão usados, assim como serão feitas “racionalizações dos denominadores” (ou seja, retirada das raízes dos denominadores).

$\begin{array}{lcl}
\mathsf{x_1}&\therefore&\mathsf{\dfrac{\left(-1+\sqrt2\right)^2+1}{-1+\sqrt2}}\\\\\\
\mathsf{x_1}&\therefore&\mathsf{\dfrac{\left(\sqrt2-1\right)^2+1}{-1+\sqrt2}}\\\\\\
\mathsf{x_1}&\therefore&\mathsf{\dfrac{\left(2-2\sqrt2+1\right)+1}{-1+\sqrt2}}\\\\\\
\mathsf{x_1}&\therefore&\mathsf{\dfrac{4-2\sqrt2}{-1+\sqrt2}\cdot\dfrac{-1-\sqrt2}{-1-\sqrt2}}\\\\\\
\mathsf{x_1}&\therefore&\mathsf{\dfrac{-4+2\sqrt2-4\sqrt2+2\sqrt{2^2}}{1-\sqrt2+\sqrt2-\sqrt{2^2}}}\\\\\\
\mathsf{x_1}&\therefore&\mathsf{\dfrac{-4-2\sqrt2+4}{1-2}}\\\\\\ \mathsf{x_1}&\therefore&\mathsf{\dfrac{-2\sqrt2}{-1}=2\sqrt2}
\end{array}$

_____

No caso, o valor de x₂ é igual ao de x₁ quando multiplicado por -1. Como deveremos fazer a racionalização do denominador, os valores serão igualados e retornará o mesmo resultado do caso anterior.

_____

$\begin{array}{lcl}
\mathsf{x_3}&\therefore&\mathsf{\dfrac{\left(1+\sqrt2\right)^2+1}{1+\sqrt2}}\\\\\\
\mathsf{x_3}&\therefore&\mathsf{\dfrac{\left(1+2\sqrt2+2\right)+1}{1+\sqrt2}}\\\\\\
\mathsf{x_3}&\therefore&\mathsf{\dfrac{4+2\sqrt2}{1+\sqrt2}\cdot\dfrac{1-\sqrt2}{1-\sqrt2}}\\\\\\
\mathsf{x_3}&\therefore&\mathsf{\dfrac{4+2\sqrt2-4\sqrt2-2\sqrt{2^2}}{1+\sqrt2-\sqrt2-\sqrt{2^2}}}\\\\\\
\mathsf{x_3}&\therefore&\mathsf{\dfrac{4-2\sqrt2-4}{1-2}}\\\\\\
\mathsf{x_3}&\therefore&\mathsf{\dfrac{-2\sqrt2}{-1}=2\sqrt2}
\end{array}$

_____

Esse caso é o mesmo do x₂. O resultado será o mesmo que foi obtido para x₃.

Com base no que foi mostrado, podemos afirmar que os resultados possíveis são $\mathsf{\pm2\sqrt{2}}$ .

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.

Bons estudos $.$

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AffonsoPaulinho Excelente resposta! Resolução explicada passo a passo, você tomou um caminho extremamente diferente do meu e esclareceu todas as dúvidas, valeu! :D Nota 10

TesrX Obrigado. :)