Sejam x e y números reais não nulos tais que . Então, é correto afirmar que a) b) c) d).... Pergunta de ideia deAffonsoPaulinho

November 2019 1 152 Report

Sejam x e y números reais não nulos tais que $\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{y^2}{x}=-2$ . Então, é correto afirmar que

a) $x^2-y=0$

b) $x+y^2=0$

c) $x^2+y=0$

d) $x-y^2=0$

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TesrX

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Olá.

Para resolver essa questão, o primeiro passo é somar as frações. Para isso, usarei uma forma que é semelhante ao MMC (porém mais rápida). Apresento-a algebricamente.

$\mathsf{m=\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}}\\\\\\\mathsf{m=\dfrac{a\cdot
d+b\cdot c}{b\cdot d}}$

Vamos aos cálculos.

$\mathsf{\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{y^2}{x}=-2}\\\\\\
\mathsf{\dfrac{x\cdot x+y^2\cdot y^2}{xy^2}=-2}\\\\\\
\mathsf{\dfrac{x^2+y^4}{xy^2}=-2}$

Levando o denominador para o outro membro e agrupando todos os valores, teremos:

$\mathsf{\dfrac{x^2+y^4}{xy^2}=-2}\\\\\\
\mathsf{x^2+y^4=-2\cdot xy^2}\\\\ \mathsf{x^2+y^4=-2xy^2}\\\\
\mathsf{x^2+2xy^2+y^4=0}$

Essa última equação refere-se a um produto notável, "quadrado da soma de dois termos", que apresento abaixo:

$\mathsf{(a+b)^2=a^2+2ab+c}$

Simplificando, teremos:

$\mathsf{x^2+2xy^2+y^4=0}\\\\
\mathsf{\left(x+y^2\right)^2=0}$

Levando o expoente para o outro membro, fazendo a operação inversa, teremos o resultado que desejamos.

$\mathsf{\left(x+y^2\right)^2=0}\\\\
\mathsf{x+y^2=\sqrt{0}}\\\\ \mathsf{x+y^2=0}$

Com base no que foi mostrado, podemos afirmar que a resposta correta está na alternativa B.

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.

Bons estudos $.$

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AffonsoPaulinho Obrigado, mestre! Meu erro foi de multiplicar as potências justamente quando tínhamos que fazer a operação inversa na penúltima linha, valeu :D