Dado o quadrado ABCD abaixo , onde E é ponto médio do lado CB, GA é o raio da circunferência do lado DA e FD é o raio da circunferência do lado CD. Sabendo que o lado desse quadrado mede 10m, calcule a área restante se retirarmos os 3 semicírculos. (Aproxime π=3)
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Resposta:
[tex]\textsf{Leia abaixo}[/tex]
Explicação passo a passo:
[tex]\sf (\overline{\rm EC} + \overline{\rm FD})^2 = (\overline{\rm EC})^2 + (10 - \overline{\rm FD})^2[/tex]
[tex]\sf (5 + \overline{\rm FD})^2 = 5^2 + (10 - \overline{\rm FD})^2[/tex]
[tex]\sf 25 + 10\:.\:\overline{\rm FD} + (\overline{\rm FD})^2 = 25 + 100 - 20\:.\:\overline{\rm FD} + (\overline{\rm FD})^2[/tex]
[tex]\sf 10\:.\:\overline{\rm FD} = 100 - 20\:.\:\overline{\rm FD}[/tex]
[tex]\sf 30\:.\:\overline{\rm FD} = 100[/tex]
[tex]\sf \overline{\rm FD} = \dfrac{10}{3}[/tex]
[tex]\sf (\overline{\rm GA} + \overline{\rm FD})^2 = (\overline{\rm FD})^2 + (10 - \overline{\rm GA})^2[/tex]
[tex]\sf (\overline{\rm GA} + 10/3)^2 = (10/3)^2 + (10 - \overline{\rm GA})^2[/tex]
[tex]\sf (\overline{\rm GA})^2 + 20/3\:.\:\overline{\rm GA} + (100/9) = (100/9) + 100 - 20\:.\:\overline{\rm GA} + (\overline{\rm GA})^2[/tex]
[tex]\sf \dfrac{20}{3}\:.\:\overline{\rm GA} = 100 - 20\:.\:\overline{\rm GA}[/tex]
[tex]\sf 20\:.\:\overline{\rm GA} = 300 - 60\:.\:\overline{\rm GA}[/tex]
[tex]\sf 80\:.\:\overline{\rm GA} = 300[/tex]
[tex]\sf \overline{\rm GA} = \dfrac{30}{8}[/tex]
[tex]\sf A = L^2 - \dfrac{\pi \:.\:(\overline{\rm EC})^2}{2} - \dfrac{\pi \:.\:(\overline{\rm FD})^2}{2} - \dfrac{\pi \:.\:(\overline{\rm GA})^2}{2}[/tex]
[tex]\sf A = (10)^2 - \dfrac{3 \:.\:(5)^2}{2} - \dfrac{3 \:.\:(10/3)^2}{2} - \dfrac{3 \:.\:(30/8)^2}{2}[/tex]
[tex]\sf A = 100 - \dfrac{75}{2} - \dfrac{100}{6} - \dfrac{2.700}{128}[/tex]
[tex]\sf A = \dfrac{38.400}{384} - \dfrac{14.400}{384} - \dfrac{6.400}{384} - \dfrac{8.100}{384}[/tex]
[tex]\sf A = \dfrac{9.500}{384}[/tex]
[tex]\boxed{\boxed{\sf A \approx 24,74\:m^2}}[/tex]