Dados dois números naturais m e n, tais que m.n=720, mdc(m,n)=6 e mdc(n,20)=4, pode-se afirmar que m.... Pergunta de ideia deThassi

April 2020 1 110 Report

Dados dois números naturais m e n, tais que m.n=720, mdc(m,n)=6 e mdc(n,20)=4, pode-se afirmar que m+n é igual a
a)36
b)54
c)72
d)90
e)126
Obs: obviamente que é B, eu quero saber pq que é B, pq tem uns engraçadinhos....

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Celio

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Olá, Thassi.

Como $mn=720=2^4\cdot3^2\cdot5,$ podemos escrever $m$ e $n$ como um produto de potências de 2, 3 e 5:

$\begin{cases}
m=2^{k_1}\cdot3^{k_2}\cdot5^{k_3},k_1,k_2,k_3\in\mathbb{N}\\\
n=2^{k_4}\cdot3^{k_5}\cdot5^{k_6},k_4,k_5,k_6\in\mathbb{N}\end{cases}$

Como $mn=720,$ temos que:

$2^{k_1+k_4}\cdot3^{k_2+k_5}\cdot5^{k_3+k_6}=2^4\cdot3^2\cdot5 \Rightarrow
\\\\
\begin{cases}
k_1+k_4=4\\
k_2+k_5=2\\
k_3+k_6=1
\end{cases}$

Por outro lado, como $\text{mdc}(m,n)=6,$ temos que:

$\text{mdc}(2^{k_1}\cdot3^{k_2}\cdot5^{k_3},2^{k_4}\cdot3^{k_5}\cdot5^{k_6})=6=2^1\cdot3^1\cdot5^0 \Rightarrow
\\\\
\begin{cases}
\text{min}(k_1,k_4)=1\\
\text{min}(k_2,k_5)=1\\
\text{min}(k_3,k_6)=0
\end{cases}$

De $k_2+k_5=2$ e $\text{min}(k_2,k_5)=1,$ obtemos que:

$\boxed{k_2=k_5=1}$

Como $\text{mdc}(n,20)=4,$ temos que $n$ é múltiplo de 4.
Ou seja, $n$ é múltiplo de $2^2.$

Como $n=2^{k_4}\cdot3^{k_5}\cdot5^{k_6},$ então $k_4\geq2.$

Como $\text{min}(k_1,k_4)=1,$ então $\boxed{k_1=1}.$

Como $k_1+k_4=4,$ então $\boxed{k_4=3}.$

Portanto:

$\begin{cases}
m=2^{k_1}\cdot3^{k_2}\cdot5^{k_3}=2^1\cdot3^1\cdot5^{k_3}=6\cdot5^{k_3}
\\
n=2^{k_4}\cdot3^{k_5}\cdot5^{k_6}=2^3\cdot3^1\cdot5^{k_6}=24\cdot5^{k_6}
\end{cases}
$

Há, assim, duas respostas possíveis:

$\begin{cases}
\text{. Se }k_3=0\text{ e }k_6=1:
\begin{cases}
m=6\cdot5^0=6\\
n=24\cdot5^1=120
\end{cases} \Rightarrow \boxed{m+n=126}
\\\\
\text{. Se }k_3=1\text{ e }k_6=0:
\begin{cases}
m=6\cdot5^1=30\\
n=24\cdot5^0=24
\end{cases} \Rightarrow \boxed{m+n=54}
\end{cases}$

Como $\text{mdc}(120,20)=20\neq4\text{ e }\text{mdc}(24,20)=4,$ então a única resposta possível é $n=24$ e $m=30,$ ou seja:

$\boxed{m+n=54}$

Resposta: letra "b".

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