a)Termo geral: xn = (1/4)^n, Demonstração de que a sequência é monótona decrescente: xn < x(n+1) para todo n > 1

b) A razão [tex]\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{1}{4} > 1$[/tex]. Portanto, a série [tex]$y_n$[/tex] é divergente.

Série convergente e divergente

a)A sequência xn é uma progressão geométrica, pois cada termo é igual ao termo anterior multiplicado por 1/4. Portanto, o termo geral da sequência é dado por

xn = a * r^(n-1)

onde a é o primeiro termo, que é 1/4, e r é a razão, que é também 1/4. Substituindo esses valores, obtemos

xn = 1/4 * (1/4)^(n-1)

Portanto, o termo geral da sequência é

xn = (1/4)^n

Para mostrar que a sequência é monótona decrescente, basta observar que a razão é menor que 1. Portanto, cada termo é menor que o termo anterior. Aqui está uma demonstração matemática:

xn < x(n+1)

(1/4)^n < (1/4)^(n+1)

1/4^n < 1/4^(n+1)

1 < 4^(n+1) / 4^n

1 < 4

A igualdade só ocorre para n = 1. Portanto, para todo n > 1, xn < x(n+1), o que significa que a sequência é monótona decrescente.

b)

A série é divergente. Para provar isso, podemos usar o teste de d'Alembert. Esse teste diz que uma série [tex]\sum_{n=1}^{\infty} (an)[/tex] é divergente se:

[tex]lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| > 1[/tex]

No caso da série yn, temos que

[tex]\lim_{n\to\infty}\left|\frac{y_{n+1}}{y_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{4+4^{n+1}}{4+4^n}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{4}{4^n}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{1}{4^{n-1}}\right| = \infty[/tex]

Portanto, o teste de d'Alembert nos diz que a série yn é divergente.

Saiba mais sobre Série convergente e divergente:https://brainly.com.br/tarefa/14828218
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