Determine o ponto do plano
3x + 2y + 2z = 12 para qual, a função f(x,y,z) = x² + 4y² + 2z² tenha um valor mínimo.
3x + 2y + 2z = 12 para qual, a função f(x,y,z) = x² + 4y² + 2z² tenha um valor mínimo.
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BlackShot
May 2020 | 0 Respostas
(ENEM) Quando se dá uma pedalada na bicicleta abaixo (isto é, quando a coroa acionada pelos pedais dá uma volta completa), qual é a distância aproximada percorrida pela bicicleta, sabendo-se que o comprimento de uma circunferência de raio R é igual a 2R, onde = 3.R.: aproximadamente 7,2 metros.IMAGEM:
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Olá, Yoda.Queremos minimizar a função
Com a restrição do domínio ao plano dado. Essa condição de restrição pode ser escrita como uma função da forma
Para encontrarmos os candidatos a pontos extremos, usaremos o método dos Multiplicadores de Lagrange, que diz, resumidamente:
Uma condição necessária para f(x,y,z) admitir extremos com a restrição g(x,y,z) = 0 é que exista λ tal que:
Vamos então calcular esses gradientes, que são os vetores formados pelas derivadas parciais da função:
Assim, precisamos que o sistema a seguir seja satisfeito:
A primeira igualdade fornece:
Essa equação nos fornece o seguinte sistema:
Agora substituímos os valores de x, y e z na nossa restrição para encontrar o valor de λ:
Isso nos diz que o candidato é o ponto:
Assim, teremos
O valor de f(X) vale:
O ponto de mínimo é (3, 1/2, 1)