Determine o ponto do plano 3x + 2y + 2z = 12 para qual, a função f(x,y,z) = x² + 4y² + 2z² tenha um .... Pergunta de ideia deYoda

August 2019 1 137 Report

Determine o ponto do plano
3x + 2y + 2z = 12 para qual, a função f(x,y,z) = x² + 4y² + 2z² tenha um valor mínimo.

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GFerraz

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Olá, Yoda.

Queremos minimizar a função

$f(x,y,z) = x^2+4y^2+2z^2$

Com a restrição do domínio ao plano dado. Essa condição de restrição pode ser escrita como uma função da forma $g(x,y,z) = 0$ , veja:

$g(x,y,z) = 3x+2y+2z -12=0$

Para encontrarmos os candidatos a pontos extremos, usaremos o método dos Multiplicadores de Lagrange, que diz, resumidamente:

Uma condição necessária para f(x,y,z) admitir extremos com a restrição g(x,y,z) = 0 é que exista λ tal que:

$\nabla f(x,y,z) = \lambda\nabla g(x,y,z)$

Vamos então calcular esses gradientes, que são os vetores formados pelas derivadas parciais da função:

$\nabla f = \left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y},\dfrac{\partial f}{\partial z}\right) = (2x,8y,4z) \\ \\ \nabla g = (3,2,2)$

Assim, precisamos que o sistema a seguir seja satisfeito:

$\begin{cases}\nabla f(x,y,z) = \lambda\nabla g(x,y,z)\\ g(x,y,z) = 0\end{cases}$

A primeira igualdade fornece:

$(2x,8y,4z) = \lambda(3,2,2) \Rightarrow (2x-3\lambda,8y-2\lambda, 4z - 2\lambda) = (0,0,0)$

Essa equação nos fornece o seguinte sistema:

$\begin{cases}2x-3\lambda = 0\\8y-2\lambda = 0\\4z-2\lambda = 0\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}x = \frac32\lambda\\y=\frac14\lambda\\ z=\frac12\lambda \end{cases}$

Agora substituímos os valores de x, y e z na nossa restrição para encontrar o valor de λ:

$3x+2y+2z-12 = 0\\ \\ 3(\frac32\lambda) + 2(\frac14\lambda) + 2(\frac12\lambda) = 12\\ \\ \frac92\lambda + \frac12\lambda + \lambda = 12\\ \\ 6\lambda = 12\\ \\ \lambda = 2$

Isso nos diz que o candidato é o ponto:

$\begin{cases}x = \frac32\lambda\\y=\frac14\lambda\\ z=\frac12\lambda \end{cases} \overset{\lambda=2}\Longrightarrow \begin{cases}x = 3\\y=\frac12\\ z=1 \end{cases}$

Assim, teremos $X = (3,\frac12, 1)$ como candidato de mínimo.

O valor de f(X) vale:

$f(X) = (3)^2 + 4(\frac12)^2 + 2(1)^2\\ \\ f(X) = 12$

O ponto de mínimo é (3, 1/2, 1)

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Yoda Muito obrigado, Gabriel! Resolução incrível!!

GFerraz Obrigado! Se tiver dúvidas é só falar :)

Yoda Tá certo, muito obrigado! xD