Em um determinado site de olimpíada de Matemática, havia o seguinte desafio: "Determine o menor número natural n que, ao ser dividido por 10, deixa o resto 9; ao ser divido por 9, deixa o resto 8; ao ser dividido por 8, deixa o resto 7; ...; e, ao ser dividido por 2, deixa o resto 1". Descubra você também o valor de n.
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Resposta: 2519.
Explicação passo-a-passo:
Afirmação: Sejam dois números inteiros positivos n, m. Então n dividido por m deixa resto m − 1 se, e somente se, n + 1 é múltiplo de m.
De fato,
n dividido por m deixa resto m − 1
⇔ n = m · q + (m − 1), para algum q inteiro.
⇔ n + 1 = m · q + m
⇔ n + 1 = m · (q + 1)
⇔ n + 1 é múltiplo de m.
Sendo assim, segue que se
n dividido por 10 deixa resto 9,
n dividido por 9 deixa resto 8,
n dividido por 8 deixa resto 7,
n dividido por 7 deixa resto 6,
n dividido por 6 deixa resto 5,
n dividido por 5 deixa resto 4,
n dividido por 4 deixa resto 3,
n dividido por 3 deixa resto 2, e
n dividido por 2 deixa resto 1,
então, n + 1 é simultaneamente múltiplo de 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 e 2.
Portanto, n + 1 é múltiplo de mmc(10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2) = 2520:
⇔ n + 1 = 2520 · k
⇔ n = 2520 · k − 1
com k inteiro positivo.
Para k = 1, encontramos o menor natural com as propriedades do enunciado:
n = 2520 · 1 − 1 = 2519 ← resposta.
Bons estudos! :-)