(ESPM-SP) A soma das raízes reais da equação x - |x - 2| = x . |x-1| é igual a: a) -1 b) 0 c) 3 d) 2.... Pergunta de ideia deNeshgtwt

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X - |x - 2| = x . | x -1|
Iremos separa tudo para a esquerda:

x - |x - 2| - x . |x - 1| = 0

Iremos analisar todas as possibilidades.

Quando as dois módulos serão positivos:
x - (x - 2) - x . (x - 1) = 0 então x - 2 >= 0, x - 1 >= 0 ou seja x >=2
x - x + 2 - x² + x = 0
-x² + x + 2 = 0
x² - x - 2 = 0
$> Analisando nas nossa condições, temos que S = {2} Quando o primeiro módulo será negativo e o segundo sera positivos: x -(- (x - 2) )- x . (x - 1) = 0 então x - 2 < 0, x - 1 >= 0 ou seja 1 < = x < 2 x + x - 2 - x² + x = 0 -x² + 3x - 2 = 0 x² - 3x + 2 = 0 <img src=$
x não pertence aos reais

Quando as dois módulos serão negativos:
x - (-(x - 2) ) - x . (-(x - 1)) = 0 então x - 2 < 0, x - 1 < 0 ou seja, x<1
x + x - 2 - x (- x + 1) = 0
2x - 2 + x² - x = 0
x² + x - 2 = 0
$> Analisando nas nossa condições, temos que: S = {-2} Somando as raízes temos que: -2 + 1 + 2 = 1 Alternativa e =) <div class=$

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Lukyo

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Vamos particionar o conjunto dos reais nos pontos em que as expressões em módulo mudam de sentença.

• Para $x< 1:$

 Temos

 $x-2<1-2\\\\ \Rightarrow\quad x-2<-1\\\\ \Rightarrow\quad x-2<0\\\\ \Rightarrow\quad |x-2|=-(x-2)\\\\ \Rightarrow\quad |x-2|=2-x$

 $x-1< 1-1\\\\ \Rightarrow\quad x-1< 0\\\\ \Rightarrow\quad |x-1|=-(x-1)\\\\ \Rightarrow\quad |x-1|=1-x$

 e a equação fica

 $x-(2-x)=x\cdot (1-x)\qquad (x<1)\\\\ x-2+x=x-x^2\\\\ x^2+x-2=0$

 Para fatorar por agrupamento, reescreva convenientemente $x$ como $+2x-x:$

 $x^2+2x-x-2=0\\\\ x(x+2)-1(x+2)=0\\\\ (x+2)(x-1)=0\\\\ \begin{array}{rcl}x+2=0&\textsf{ ou }&x-1=0\\\\ x=-2&\textsf{ ou }&x=1 \end{array}$

 Mas $x< 1,$ então apenas um valor acima é solução:

 $x=-2\qquad\mathbf{(i)}$

—————

 • Para $1\le x< 2:$

 Temos

 $x-2<2-2\\\\ \Rightarrow\quad x-2<0\\\\ \Rightarrow\quad |x-2|=-(x-2)\\\\ \Rightarrow\quad |x-2|=2-x$

 $1-1\le x-1\\\\ \Rightarrow\quad 0\le x-1\\\\ \Rightarrow\quad |x-1|=x-1$

 e a equação fica

 $x-(2-x)=x\cdot (x-1)\qquad (1\le x< 2)\\\\ x-2+x=x^2-x\\\\ x^2-3x+2=0$

 Para fatorar por agrupamento, reescreva convenientemente $x$ como $-x-2x:$

 $x^2-x-2x+2=0\\\\ x(x-1)-2(x-1)=0\\\\ (x-1)(x-2)=0\\\\ \begin{array}{rcl}x-1=0&\textsf{ ou }&x-2=0\\\\ x=1&\textsf{ ou }&x=2 \end{array}$

 Como $1\le x<2,$ apenas um valor acima serve:

 $x=1\qquad\mathbf{(ii)}$

—————

 • Para $x\ge 2:$

 Temos

 $x-2\ge 2-2\\\\ \Rightarrow\quad x-2\ge 0\\\\ \Rightarrow\quad |x-2|=x-2$

 $x-1\ge 2-1\\\\ \Rightarrow\quad x-1\ge 1\\\\ \Rightarrow\quad x-1\ge 0\\\\ \Rightarrow\quad |x-1|=x-1$

 e a equação fica

 $x-(x-2)=x\cdot (x-1)\qquad (x\ge 2)\\\\ x-x+2=x^2-x\\\\ x^2-x-2=0$

 Para fatorar por agrupamento, reescreva convenientemente $-x$ como $+x-2x:$

 $x^2+x-2x-2=0\\\\ x(x+1)-2(x+1)=0\\\\ (x+1)(x-2)=0\\\\ \begin{array}{rcl}x+1=0&\textsf{ ou }&x-2=0\\\\ x=-1&\textsf{ ou }&x=2 \end{array}$

Como $x\ge 2,$ nos resta apenas um valor como solução:

 $x=2\qquad\mathbf{(iii)}$

—————

Fazendo a união das soluções parciais, obtemos o conjunto das soluções da equação modular:

 $S=\{-2,\,1,\,2\}$

e a soma procurada é

 $-2+1+2=1\quad\longleftarrow\quad\textsf{resposta.}$

Resposta: alternativa e) 1.

Bons estudos! :-)

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